【論理学】日本語から論理式へ変換する方法

質問

お世話になります。
標記の件で、ポイントを教えて頂きたく質問いたしました。

例えば、
（1）愛の教団のすべての教徒は、自分を愛さない者すべてを愛する。
（2）愛の教団のすべての教徒は、自分を愛さない者だけを愛する。
という文について、

　Pxを「xは愛の教団の教徒である」
　Lxyを「xはyを愛す」

とすると、上記の2文は
（1）∀x(Px→∀y(￢Lyy→Lxy))
（2）∀x(Px→∀y(Lxy→￢Lyy))
と記号化できるようですが、このように記号化するプロセスの
考え方がわかりません。

お知恵の拝借をお願い致します。

出典：「論理学をつくる」（名古屋大学出版会：戸山田和久） P.187

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

「xは自分を愛さない者すべてを愛する」
これは「すべて」がなくても同じです。
「xは自分を愛さない者を愛する」
主語を入れ替えると、
「自分を愛さない者はxに愛される」
つまり、
「yが自分を愛さないなら、xはyを愛する」
となります。

「xは自分を愛さない者だけを愛する」
これは「だけを愛する」ということは「それ以外は愛さない」ということです。
別の角度から見ると、
「xに愛されているなら、自分を愛さないはずだ」
「xに愛されている者は、自分を愛さない」
つまり、
「xがyを愛するなら、yは自分を愛さない」
となります。

集合論で説明をすると、
S(x)を「xが愛する者」の集合
Tを「自分を愛さない者」の集合
とすると、
「xは自分を愛さない者すべてを愛する」　⇔　S(x)⊃T　⇔　y∈T→y∈S(x)　⇔　￢Lyy→Lxy
「xは自分を愛さない者だけを愛する」　⇔　S(x)⊂T　⇔　y∈S(x)→y∈T　⇔　Lxy→￢Lyy

お礼

詳細にありがとうございます。

他の文例を使って、自分で変換ができるよう
努力いたします。

素晴らしいです。

本当にありがとうございました。

回答No.1

nag0720

問題を分けて考えましょう。

（1）愛の教団のすべての教徒は、自分を愛さない者すべてを愛する。
（2）愛の教団のすべての教徒は、自分を愛さない者だけを愛する。

これを別の日本語にすると、
（1）xが愛の教団の教徒なら、xは自分を愛さない者すべてを愛する。
（2）xが愛の教団の教徒なら、xは自分を愛さない者だけを愛する。
ということは理解できるでしょうか？

Qxを「xは自分を愛さない者すべてを愛する」、Rxを「xは自分を愛さない者だけを愛する」とすれば、
（1）∀x(Px → Qx)
（2）∀x(Px → Rx)
ということです。

また、
「xは自分を愛さない者すべてを愛する」
「xは自分を愛さない者だけを愛する」
を別の日本語にすると、
「yが自分を愛さないなら、xはyを愛する」
「xがyを愛するなら、yは自分を愛さない」
ということなので、Lxyで表すと、
Qx ≡ ∀y(￢Lyy→Lxy))
Rx ≡ ∀y(Lxy→￢Lyy))

これを、上記の（1）（2）に代入すれば、
（1）∀x(Px → ∀y(￢Lyy→Lxy)))
（2）∀x(Px → ∀y(Lxy→￢Lyy)))
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

とてもエクセレントな解法に驚くと共に
敬服いたします。

ご教示頂きながら、更なる質問で恐縮ですが、
日本語を論理式に変換しやすくするポイントを
解説頂けると幸いです。

具体的には、
>「xは自分を愛さない者すべてを愛する」
>「xは自分を愛さない者だけを愛する」
>を別の日本語にすると、
>「yが自分を愛さないなら、xはyを愛する」
>「xがyを愛するなら、yは自分を愛さない」
の考え方をご教示頂きたく存じます。
ご回答くださった文を読むと、理解はできるのですが、
自分では思いつかない高度な技術に舌を巻きます。

大変失礼ではございますが、何卒お知恵の拝借を
お願い致します。