数学A 命題について

質問

(1)あるyについてxy>0ならばx>0である。
(2)すべてのyについてxy>0ならばx>0である。

この2つの文の意味は何が違うのですか。
解き方なども交えて説明をお願いしたいです。

回答No.3

ddtddtddt

＞あるyに制約があるのなら、私が提示した(1)の問題「あるyについてxy>0であるならば、x>0である」の制約条件はなんですか？

　制約というか、(1)は書かれている条件を満たすようなyが一つでもあれば良い、というだけです。(2)との関係でいうと当然ながら、

　全てのyで成立する　⇒　あるyで成立する．

という事になり、逆は言えません。つまり(2)の方が、(1)よりyについて強い条件になってるだけです。そしてこれは、命題(1)，(2)の真偽とは無関係な話です。

　どういう事かというと、数学において命題は常に定理の中で使われる事を思い出して下さい。典型的には、定理の始まり（前提）としての条件だったり、定理の終わり（結論）だったりします。
　例えば(1)がある定理の前提であれば、前提が偽な定理は無意味ですから、原則として(1)の真偽を確認する必要があります。なので結局は、「あるy」についての話だったとしても、正負のyで(1)の真偽を確かめる事になります。そういう確認作業を行うと、

　(1)あるyについてxy>0ならばx>0である。

　　　　　　　　　　⇒　y＞0でなければならない。
　　　　　　　　　　　（そのようなyは存在できる）

という事になります。「y＞0でなければならない」自体が定理の結論というケースもあり得ます。

　同様に(2)がある定理の結論であるならば、(2)は成立しないので、(2)を導いた定理の前提が不正だ、という事になります。背理法はこのような運用ですよね？。

　どのような問題で(1)，(2)が出されたかはわかりませんが、少し誤解があるように思えました。

回答No.2

tarou1916

(1)あるy
には、制約条件があります。
例えば、y>0とか
(2)すべてのy
は制約条件がないので、
強いて表すと、yは－∞から+∞に及ぶ値となる。

補足

何度もすいません。
では、あるyに制約があるのなら、私が提示した(1)の問題「あるyについてxy>0であるならば、x>0である」の制約条件はなんですか？

回答No.1

kiha181-tubasa

「ある○○について～である」の表現で困っているのでしょうか。

　「ある人は警察官である」とは，「警察官である人がいる」ということ。
　「ある数ｎについて，ｎは１０より小さい」とは「１０より小さい数ｎが存在する」ということです。

　さて，ご質問についてですが，回答に窮してしまいました。文章がどこで切れるかが不明だからです。次のように切り方によって変わってしまうからです。

（１）の「あるｙについてｘｙ＞０であるならばｘ＞０である」について
（ア）「あるｙについてｘｙ＞０である」ならば「ｘ＞０である」
つまり「ｘｙ＞０であるｙが存在するならば，ｘ＞０である」という命題ならこれは偽ですね。ｘ＝－１，ｙ＝－２という反例（成り立たないことを示す例）があるからです。
（イ）「あるｙについて」「ｘｙ＞０ならばｘ＞０である」（「ｘｙ＞０ならばｘ＞０である」ようなｙが存在する）と読むべき命題ならこれは真です。
ｙ＝１がその例です。」（存在することの証明には，その例１つを挙げれば良い）

（２）の「すべてのｙについてｘｙ＞０ならばｘ＞０である」について
（ア）「すべてのｙについてｘｙ＞０である」ならば「ｘ＞０である」
　すべてのｙについてｘｙ＞０であるようなｘは存在しないので，仮定が偽。したがってこの命題は真になります。
（イ）「すべてのｙについて」「ｘｙ＞０ならばｘ＞０である」
ｙ＝－１の場合に成り立たない（つまり成り立たない例がある）のでこの命題は偽になります。

　質問の要点（何が解らないでこまっているのか）がうまくつかめなかったので，くどい回答になりましたがご容赦を。

補足

わかりづらい質問になってしまい、申し訳ございません。ご丁寧にありがとうございます！！

私が聞きたかったのは、(ア)のほうで、
「ある◯◯が～ならば、～」と、
「全ての◯◯が～ならば、～」
で何が違うのかを聞きたかったのです。

「あるyについてxy>0であるならば、x>0である」
は、yが正の時も負の時も考えなければならず、結局全てのyについて考えることになると思います。