以下の2つの論理式が同値であることの証明

質問

記号論理学についての初歩的な質問です。
以下の論理式(1)と(2)がなぜ同値になるのか、直感的にもわからず、証明もできず困っています：

(1) ∃x(∀y(Py→y=x) & Px)
(2) ∃x∀y(Py≡y=x)
（≡は双条件の記号です。）

(1)では、Pを満たす個体は唯一つある、というのは良く分かるのですが、(2)ではそれがうまくつかめません。
また(2)は、∃x∀y((Py→y=x) & (y=x→Py))
と分析できると思いますが、見た目では2つ目の連言肢が(1)のPxに相当すると感じるのですが。

お詳しい方、
お手数ですがひとつご教示いただければと思います。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#131236 · ベストアンサー

まず機械的に(1)から(2)を導く

(1)から(2)を導くとき
Pと-Pに場合分けしてください。

-Pを仮定したら、包含関係からx≠yとなりますが、
その後、待遇命題を使ってPy≡y=xにたどり着きます。(Py→y=xより)

Pの場合は簡単。
両方あわせこれで
(1)⇒(2)

(2)⇒(1)は簡単でしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。
お返事が遅くなってしまい、申し訳ありません。

超初心者並みの質問でお恥ずかしいのですが、

>-Pを仮定したら、包含関係からx≠yとなりますが、
>その後、待遇命題を使ってPy≡y=xにたどり着きます。(Py→y=xより)

について、
Py→x=yに対して-Pを仮定するとx≠yが導き出される、ということでしょうか？（私の知っているのは、条件式の後件が否定されれば、前件の否定が導き出されるというものですが、これと関係のあることですか？）
すると、-Py→x≠yが得られ、これの対偶x=y→Pyを得ると、Py→x=yと合わせてPy≡y=xが得られるということでしょうか？
すると、(1)∃x(∀y(Py→y=x) & Px)のPxの部分はどうなるのでしょうか？

理解が行き届いておらず、すみません。
もう少し付け加えして頂けないでしょうか。

また残りの、

>Pの場合は簡単。
>両方あわせこれで
>(1)⇒(2)
>
>(2)⇒(1)は簡単でしょう。

についても、お手数おかけしますがもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#131236

判りにくいようでしたら
x=y

x≠y

の場合わけでも出来るようです。

回答No.2

noname#131236

PではなくPy
もとい
(条件∀y)
Py　or -Py