色分けの問題です

質問

（１）立方体の各面を。お互いに異なる６色すべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、立方体を回転させたとき面の色が一致する塗り方は同じであるとみなす。

（２）正五角柱の７つの面を赤、黄色、青、紫、茶、黒の７つの色を一色づつ用意して塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、正五角柱を回転したり倒したりして同じになる塗り方は一通りとする。

１，２の問題なんですが、１のほうは、側面を固定して考えるのに対して、２は底面と上の色の塗り方も考えると解説にあります。

この違いがよくわかりません。

２も固定して考えればいいのではないでしょうか？

教えてください。

回答No.3

Ishiwara · ベストアンサー

「天地東南西北」の６位置を考える。
「ＡＢＣＤＥＦ」の６色を考える。

(1)Ａを天に固定することは、一般性を失わない。

(2)ＡとＢを隣接させるとすれば、Ｂを東に固定することは一般性を失わない。
(3)CＤＥＦを地南西北に割り当てる順列は２４とおりである

(4)ＡとＢを隣接させない（対面に置く）とすれば、Ｂは地である。
(5)Cを東に固定することは一般性を失わない。
(6)ＤＥＦを南西北に割り当てる順列は６とおりである。

(7)よって順列の合計は２４＋６＝３０である。

私も解説書の説明がよく分かりません。しかし、「固定して考える」とは、上記の説明(2)(5)の「固定」と同じことではないでしょうか。つまり「一般性を失わないための固定」とは、今後起こるであろう「重複した数え上げ」を未然に防ぐためのものです。例えば、円卓に座ったり、数珠の順列を考えたりするときに、まず特定の一つの椅子（または珠）を固定してしまって「同じ順列を２度数えない」ように「縛り」をかけることだと思います。

回答No.2

alice_44

側面を固定すると捉えるけともできるけれど、
ある色の面が何処へいくかで回転を表現する
と考えたほうが、話がスッキリするのでは？

まず、立体を空間に固定して、色塗りをします。
その塗り方は、面数の階乗です。これを、
回転で同じとみなされる塗り方の重複度で割れば、
求める塗り方の数になります。

(2)の場合、
柱の高さ方向を軸とする 72 度の回転と、
軸の向きを逆転する 180 度の回転によって
同じ塗り方が重複しますから、
7！ を 5×2 で割ればよい。

(1)の場合、
ひとつの色に着目して、その色の行先が 6 面。
その面を底面として、側面の回転が 45 度づつ。合計 6×4 個の回転によって、同じ塗り方が重複
しますから、6！ を 24 で割ればよいです。

最初の一色の面を選ぶところで、
一面を固定した～と考えることもできますが…

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

(1)も (2)も「角柱」の問題である点では同じですね。

ただ、(1)には特殊な条件が加わっています。
それは「側面と上面・底面が合同である」ということです。

(2)の正五角柱は側面に沿った「横回転」だけを考えればいいのですが、
(1)の立方体は上面を側面に持ってきたりといった「縦回転」も考えなければなりません。

この違いがでてきます。