さいころの色の塗り分け問題についてです。

質問

さいころの色の塗り分け問題についてです。
４色全部使っての色の塗り分けの仕方は何通りあるか。
解答では、底面を1つ固定して残りの側面の塗り方を考えるとあるのですが、よく分かりません。
よろしくお願いします。
もし、この方法よりもわかりやすい方法があったら、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

Saturn5 · ベストアンサー

ところで、問題は数の書いてあるサイコロでしょうか？
何も書いていないサイコロ型の立方体でしょうか？
前者の場合は膨大な数になりますので、後者として考えます。

色を［１］から［４］で表すことにします。
底面を［１］で固定します。
・上面を［２］にする場合。
側面は［３］［４］［３］［４］
・上面を［３］にする場合。
側面は［２］［４］［２］［４］
・上面を［４］にする場合。
側面は［２］［３］［２］［３］
というように、底面と上面の色が決まれば側面は自動的に決まります。
底面と上面の色の組み合わせは
［１，２］［１，３］［１，４］［２，３］［２，４］［３，４］
の６通りです。

お礼

ありがとうございます。
問題が間違っていました。ご察しのとおり、立方体です。
底面を固定することは何を意味するのか。
また、底面を［１］に固定したとき、上面が［１］にはならないのでしょうか。

回答No.5

nag0720

ついでにもうひとつ

4^6－4*3^6＋6*2^6－4*1^6 = 1560通り
の式の意味が分からない場合は、

別解として、
＃２と同じように、色の選び方と塗り方を分けて考えると、
(6!/3!)*4＋(6!/(2!2!))*6 = 1560通り

お礼

問題を間違ってしまいましたが、もし、さいころの場合としたほうが考えやすいのですね。
4^6－4*3^6＋6*2^6－4*1^6 = 1560通り
こちらのほうが、意味としてわかりやすいです。
ご迷惑をかけ、すみませんでした。

回答No.4

nag0720

＃２です。
確かにさいころなら勘違いですが、「解答では、底面を1つ固定して・・・」とあるので、さいころ型の立方体として回答しました。
（本当にさいころならそんな解答にはならないので）

さいころだとしても、4^6 = 4096通りは間違い。
「４色全部使って」だから、１～３色だけしか使ってない場合は除く必要があります。
4^6－4*3^6＋6*2^6－4*1^6 = 1560通り

回答No.3

orcus0930

勘違いしてないかな？
解答も勘違いしてる

ただの立方体じゃなくて，サイコロでしょ？
6面全部違うんでしょ？
各面で4通りの塗り方があるんだから，
4^6 = 4096通り

これが正しい．

お礼

すみませんでした。問題が不備でした。
立方体でした。
ご迷惑をかけました。

回答No.2

nag0720

＞解答では、底面を1つ固定して残りの側面の塗り方を考えるとあるのですが、よく分かりません。

底面を1つ固定すれば、残りの側面の塗り方は円順列の数え方と同じになります。
ただし、上面と底面が同色の場合は数珠順列になります。
そう考えたほうが分かりやすいというだけで、そうしなければならないわけではありません。

問題の４色で塗り分ける場合は、色をa,b,c,dとして色の組み合わせを考えると、
a,a,a,b,c,dのパターン（３面が同色）が４通り
a,a,b,b,c,dのパターン（２面同色が２つ）が６通り

３面同色の場合は、
反対側の面（以下、対面と記す）に同色がある場合は、残りの塗り方は３通り
対面に同色がない場合は、残りの塗り方は２通り

２面同色が２つある場合は、
その２色ともそれぞれ対面にある場合は、残りの塗り方は１通り
１色が対面にありもう１色が対面にない場合は、残りの塗り方は１通りですが、その２色を入れ替えて、計２通り
２色とも対面にない場合は、残りの塗り方は５通り

以上をまとめると、
（３＋２）×４＋（１＋２＋５）×６＝６８通り

お礼

問題がいろいろ不備ですみませんでした。
立方体で、隣り合う面は同じ色にならない。
また、必ず４色全部使うという条件でした。
ありがとうございます。