塗り分け問題

質問

いつもお世話になっています。

「七角柱の９個の面に１から９までの番号が書いてある。この９個の面に１面ずつ、異なる４色の中から１色ずつ選んでは塗っていく。このとき、どの隣り合う面の組も同一色では塗られない塗り方は何通りあるか。」

という問題なのですが、樹形図を描いても計算でやろうとしても答えが合いません。。。
どなたかわかりやすく教えていただけると幸いです。

回答No.3

ask-it-aurora · ベストアンサー

相異なる４色を表す記号をx, y, z, wとします．

まず最初に注意すべきことは七角柱の上面，下面の色は側面すべてと隣り合っているので側面にある色とは異なるということです．つまり上面の色をwとすれば側面の色はx, y, zの３色の中から選ばなくてはなりません．

さらに側面の色には3色すべてを使わなくてはなりません．いま七角柱の側面をA, B, C, D, E, F, Gとします．もし仮に２色x, yで側面を塗ろうとするとたとえば
A-x, B-y, C-x, D-y, E-x, F-y, G-x
のような組合せになってしまい隣合う面が同じ色で塗られていまいます（上の例だと面A, Gが同じ色xで塗られている）．

したがって側面で3色すべてが必ず使われるため下面の色も上面の色と同じになります．以上から
（求める場合の数）
＝ （上面の色の数）×（側面を３色で塗り分ける数）
とわかりました．「上面の色の数」は4なので残る「側面を３色で塗り分ける数」を求めれば十分です．

さて懸案の「側面を３色で塗り分ける数」ですが側面にx, y, zが登場する回数#x, #y, #zの場合分けをして数えます．以下ではまず#x ≦ #y ≦ #z の場合について調べて，最後に#x, #y, #zの大小に関する並び替えを考慮します．ある色が半分7/3より多くを占めた場合は自動的にその色が隣り合ってしまいます．またx, y, zすべての色が側面に登場する必要があるので場合分けは条件1 ≦ #x ≦ #y ≦ #z ≦ 3と#x + #y + #z = 7を満たすものについてすれば十分です．

(#x, #y, #z) = (1, 3, 3)のとき．
xyzyzyz
のような場合しかありません．xの位置は七角柱を回転することによって，y, zの役割は七角柱を上下ひっくり返すことで同じとみなせるので，場合の数は1通りです．#x, #y, #zの大小に関する並び替えを考慮した場合は3通りです．

(#x, #y, #z) = (2, 2, 3)のとき．
zxzxyxy
zxzyxzy
のような場合があります．xの位置は七角柱の回転することによって，y, zの役割は七角柱を上下ひっくり返すことで同じとみなせるので，場合の数は2通りです．#x, #y, #zの大小に関する並び替えを考慮した場合は2×3 = 6通りです．

以上から
（側面を３色で塗り分ける数）= 3 + 6 = 9
です．したがって求める場合の数は4×9 = 36通りです．

## どうもあまりスマートな解法とは言い難いですが，あしからず．

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、そのように場合分けをすれば確かにすべての場合を数えることができますね！！
最初に大小を勝手に決めておくというのが鍵ですね！
非常に助かりました。ありがとうございました。

また、最後になりましたがこの問題は数字がついていることで面を区別するという意味をあらわしていたようなので、求める答えは数珠順列の逆操作をして36×2×7=504通りでした。汗

回答No.2

naniwacchi

#1です。
上下の面を塗るところまでは、わかっていたのですね。
そうであれば、
1)その上下の面の塗り方は何通りありますか？
2)側面には上下とは異なる色を塗らなければなりません。
　そのことと側面だけのつながりを見れば、「数珠」と同じです。

色を塗った時に番号が塗りつぶされるのであれば、
ひっくり返したり回転させたりして同じになるものは区別しませんよね。
一応、そういう想定で考えています。

お礼

回答ありがとうございます。
すみません、番号は区別するようです・・・。
1）については4通りしかないとわかりました。

回答No.1

naniwacchi

もっとも隣り合う面の多い「上下の面」から先に塗ることを考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
はい、そこまではわかったのですが、そこから先がわからないのです。。。（すみません、口足らずでした）