多面体の色の塗り方何通り？

質問

正三角柱を５色使って塗るときのパターンはいくつか？で
(1)まず側面を塗るのに、じゅず順列で
５Ｐ３÷３÷２(５Ｐ３は５×４×３)＝１０通り
(2)そして上面、底面の塗るパターンは、２通り
よって１０×２＝(答え)２０通り

そして別の問題集で
正立方体６面を６色全て使って塗り分ける方法は
(1)まず特定の色を塗った底面を決めて固定すると
上面に塗るパターンは５通り
(2)側面は円順列で(４－１)！＝６通り
よって５×６＝３０通り
となるのですが

後者の問いを、前者と同じように側面から塗ってみる方法をとると
(1)まず側面をぬるのに
６Ｐ４÷４÷２＝４５通り
(2)そして上面、底面を塗るパターンは２通り
よって４５×２＝９０通り

となって、３０通りとなるはずの答えが９０通りに
なってしまいます。
どこがおかしな勘違いか間違いをしているのでしょうか。。

回答No.3

yukichi623 · ベストアンサー

展開図を使って考えてみたらどうでしょうか？

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真中のところの塗り方が、円順列として重複度を考えて、
6P4÷4
通り。
上面と下面の塗り方が2種類。

したがって、
6P4÷4*2=180

立方体の場合は、6面どの面も底面にすることが出来るので、その分の重複度を考えて
(6P4÷4*2)÷6=30

重複の度合いが、上下逆さま分だけ（数珠順列分だけ）と考えている部分が、微妙に違っている部分だと思います。
正三角柱の場合は、側面と底面の形が違うのでそれでうまくいきますが。

回答No.4

d-kanai

ちょっと適当気味ですが、こんなのはどうでしょうか？

回転して同じ形になるものは、回転できなくしてしまえばいいんですよ。
とりあえず、自分が好きな色で塗ってある面を底面としてそこからパターンを数えましょう。

底面が決まると、縦方向の回転はできなくなるので、上面が１つに決まります。
上面を塗るパターンは５通り。

次に側面ですが、底面上面が決まってもまだ横には回転できてしまいます。
なので残った４つの色から好きな色で塗った面を正面と決めてしまいます。

底面と正面を固定してしまったのでもう回転できません。残りの３面を塗るパターンは３×２×１＝６。これと上面を塗った時のパターンの５をかけると３０。めでたし、めでたしと。

回答No.2

eatern27

あんまり深くは考えてないですが…

まず、立方体にサイコロと同じように１～６の番号を振ります。

１の面の色をＡ、６の面の色をａ
２の面の色をＢ、５の面の色をｂ
３の面の色をＣ、６の面の色をｃ

と呼ぶことにします。

このサイコロをＡとａの色が上面・底面になるようにおきます。
もちろん、この塗り方は、ご質問の数え方に含まれています。

次に、Ｂとｂの色が上面・底面になるようにおきます。
この塗り方はもご質問の数え方に含まれていますが、上の物とは別に数えています。

Ｃとｃの色が上面・底面になるようにおいたものも同じです。

ですので、同じ塗り方を３回数えていることになります。

回答No.1

noname#24477

立方体で上下、側面は入れ替えが効く。
（言い方を変えれば底面にはどの面でもなれる。
だから底面を固定している。）
その分を余分に数えているのでしょう。

補足

そうですよね。ということは、立方体の時は
側面から塗らないようにした方がいいんですかね？
一応、３倍多いということは、どこかで３となる
ようなパターンを割らなくては・・・
どこでどう考えたらいいんだろう。