図形・弧の横の長さが分かりません

質問

7mmの長さの弧、高さは1.2mmです。
横の長さを教えてください。

あと、弧が半径何mmの円なのか分かると助かります。

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

半径をr、弧の中心角をθとすると、
rθ=7
cos(θ/2)=(r-1.2)/r

計算を簡単にするために、t=1/rとすると、
cos(7t/2)=1-1.2t

f(t)=1-1.2t-cos(7t/2)=0　と置いて、ニュートン法でtを求めると、
t≒0.2045

半径は、
r=1/t≒4.8899

横の長さは、
2√(r^2-(r-1.2)^2)=2√(2.4r-1.44)≒6.4174

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

info22_

>7mmの長さの弧、高さは1.2mmです。
>横の長さを教えてください。
弦の長さと言い換えましょう。

>あと、弧が半径何mmの円なのか分かると助かります。

弦の長さd mm、半径r mm (0<d<2r)、弧の中心角を2θ（0<θ<π/2）とおくと
直角三角形の三角関数から
　d/2=r*sinθ　…(1)
　cosθ=(r-1.2)/r …(2)
　r*2θ=7 …(3)
という連立方程式が成立します。
(3)から r=7/(2θ)　…(4)
これを(2)に代入
　cosθ=1-1.2/r=1-1.2*(2θ)/7=1-(2.4/7)θ
これは解析的には解けませんので、数値計算でθを求めてやります。
　数値計算は高校数学で出てくるニュートン法（ネットで検索しても沢山ヒットします）を使えば良く、簡単にθを求められます。
　ニュートン法では初期値が必要ですので y=cosθとｙ=1-(2.4/7)θのグラフから交点のx座標のおおよそ値を求めニュートン法の初期値θ0として使います。
　大体　0.6<θ0<0.8 かと思います。
　θ0=0.7を初期値としてｆ(θ)=cosθ-1ニュートン法でθを求めてやると、
θ=0.71575419951359[ラジアン] = 41.00969480089359度
(3)から r=7/(2θ)=4.889946859380639 mm≒4.9 mm
(1)から d=2rsinθ=6.417436392365326 mm≒6.4 mm
となります。

お礼

ありがとうございました！