数学 図形

質問

中３です。

図形の問題です。
下の図において四角形ＡＢＣＤは長方形でＡＢ＝２、ＡＤ＝４です。
弧ＡＣは点Ｏを中心とし、点Ａで辺ＡＤに接する半径rの円の一部である。
この弧ＡＣと辺ＡＢと辺ＢＣに接する円の半径をa,
弧ＡＣと辺ＣＤと辺ＡＤに接する円の半径をbとする。

最初の問題のrを求めよ。はでき、５に成りました。
・aを求めよ
・a＋bを求めよ
がわかりません

図が大変汚く済みません。

お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

図を添付図のように書き直し、交点や接点に図のように記号を割り振ります。
[ポイント]内接円Pや外接円Qの中心を結ぶ直線OP、OQ上に接点F,Eがある。

>r=5
合っています。
これは以下のようにすれば求まります。
直角三角形△OBC（緑、水の一部、黄色の一部を合せた三角形）に三平方の定理を適用して
　OC^2=OB^2+BC^2
OC=r, BC=4, OB=OA-AB=r-2を代入
　r^2=(r-2)^2+4^2
　0=20-4r
∴r=5 ...(1)

>・aを求めよ

円Pの半径PL=PM=PF=aを求めるには
直角三角形△OPL（黄色の三角形）に三平方の定理を適用して
　OP^2=PL^2+OL^2
PL=a, OP=OF-FP=OC-a=r-a=5-a, OL=OB+BL=(OA-AB)+PM=r-2+a=3+aを代入
　(5-a)^2=a^2+(3+a)^2
　25-10a=9+6a+a^2
　a^2+16a-16=0
二次方程式の解の公式よりa>0の解を求めると
　a=-8+4√5(≒0.99427)　...(2)

円Qの半径QE=QJ=QK=bを求めるには
直角三角形△OQN（黄色と水色の三角形）に三平方の定理を適用して
　OQ^2=QN^2+ON^2
OQ=OE+QE=OC+QJ=r+b=5+b, QN=NJ-QJ=AD-QJ=4-b, ON=OA-AN=OC-QK=r-b=5-b
を代入して
　(5+b)^2=(4-b)^2+(5-b)^2
　b^2-28b+16=0
二次方程式の解の公式を用いて0<b<2の範囲の解を求めると
　b=14-6√5(≒0.58359) ...(3)

>・a＋bを求めよ
(2),(3)より
a+b=a=-8+4√5+14-6√5=6-2√5(≒1.52786）

お礼

今回も丁寧な説明ありがとうございます！
３問目でa＋bにしているのはわざとだと思っていたのですが
ふつうにaと同じ方法でbももとめられるんですね。

円の中心と接点を結んでみると図形が見えて来る事が多いなと思いました。

補助線をどこに引くかすぐわかるようにしたいです。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#190065

#1の方の親切な回答に付け加えることもないのですが、ひとつだけ。
「２つの円が接していれば、２円の中心と接点が同一直線上にある」（証明はやや難しいが、対称であるという感じで理解）
を頭に入れて置きましょう。
　#1の方のきれいな図でいうと、点Oと点Pと点F、点Oと点Eと点Qです。

お礼

私がそうなんですが、問題の図をノートに写したりすると
正確じゃなく、きづかないときもあるので覚えておきたいと思います！

特にこの問題なんかはそれを使ってるので。

ありがとうございました！