弧の長さを分点をどれぐれい増すとどれぐらい真値に近くなるか

質問

長さ100mm高さ1mmの弧の長さを分点の座標から三平方の定理で直線的に近似する方法をとる場合、どれぐらい分点を増すと、どれぐらい真値（弧の長さ）に近づくか、いいかえますと、どのぐらい分点を増すのが妥当か計算する方法はございますでしょうか？
すみませんが、教えていただけませんしょうか？

回答No.2

sunasearch · ベストアンサー

弧の半径はわからないのでしょうか？

半径がわからない場合は、

2πr×θ/360 = 100
と
r - √(r^2 - (a/2)^2) = 1から、r、θを求めて下さい。
１つ目の式は、弧の長さを求めていて、
２つ目の式は、円の中心から弧の中心に直線を引いて、弧全体の弦までの距離との差を計算しています。

ただし、rは半径、θは中心角、aは弧全体の弦の長さです。

近似計算に微分は使いません。

三平方の定理とかけ算だけです。

分点間を直線でつないで、三平方の定理から、各直線の長さを求め、分点の数だけ、直線の長さをかけ算したものが近似値です。

＃ちなみに、最初の長さ100mmというのは弧の長さですよね？
弦の長さだとしても、だいたい上記と同じ感じになります。

補足

補足ですが、最初の長さ100mmというのは弦の長さです。ちなみに今回の弧の長さ算出に微分を使用しない事教えていただきましたが、弧ではない場合（例えば放物線のような曲線の場合）は微分を使用しないと駄目でしょうか？何度も質問ですみませんが宜しくお願い致します。

回答No.4

mech32

#3です。すみません。式が間違ってました。

二等辺三角形の底辺の長さは
2rsin(θ/2n)
になるので、直線での近似による誤差は
rθ-2rnsin(θ/2n)

が正しいです。実際に表計算ソフトにやらせてみたところ、許容誤差を0.001mmとすると、n=6、すなわち、分点の個数は5個必要なようです。

お礼

大変ありがとうございました。参考になりました。

回答No.3

mech32

弧をなす元の円の半径をr、弧をつくる扇形の中心の角度をθとします。角度をn等分する点を分点として設定するものとして、角度がθ/nの小さな扇形と細長い二等辺三角形を考えます。すると、この小さな扇形の弧の長さは
rθ/n
二等辺三角形の底辺の長さは
2rsin(2n/θ)
になるので、直線での近似による誤差は
rθ-2rnsin(2n/θ)
になります。この値を必要な許容誤差の範囲に抑えることのできるnを探せばよいと思います。

回答No.1

sunasearch

>どれぐらい真値（弧の長さ）に近づくか

この精度を明確にしないと答えはでないですよ。

例えば、許容誤差をeとして、1mm以内とか、0.1mm以内とか。

分点間の距離をdとおく、もしくは、中心角をθとして、
真値-近似値 <= eを満たす、dもしくはθを求めれば良いと思います。

補足

早速のご回答有難うございます。許容誤差としては0.001mmなのですが、何度もすみませんが真値と近似値の計算のしかたを教えていただけませんでしょうか。微分法を用いたら良いのではとまでは思いつくのですが、学生時代にべ勉強を怠ったために、非常に苦慮しております。宜しくお願い致します。