集合の問題？

質問

分かりません。どうか教えて下さい。
４０人の生徒が、Ａ，Ｂ２題の問題を解いた。Ａの問題を正答した生徒は３１人、Ｂの問題を
正答した生徒は２７人であった。
（１) ２題とも正答した生徒は何人以上か。
（２）２題とも間違った生徒は何人以下か。
特に以上とか以下という質問に戸惑っています。どうぞ　よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

Aに正解した生徒とBに正解した生徒の数を足すと５８人ですが、全体で４０人しかいないわけですから、二問とも正解した生徒がいることになりますね。もし、二問とも間違えた生徒が一人もいないとしたら、５８－４０＝１８人が二問とも正解ということになります。このとき、
Aのみ正解１３人
Bのみ正解９人
両方正解１８人
で合計４０人ですね。では、例えば二問とも間違えた生徒が３人いたとしたら、５８－（４０－３）＝２１人が二問とも正解した生徒の数です。このとき
Aのみ正解１０人
Bのみ正解６人
両方正解２１人
で合計３７人、残り３人は二問とも不正解です。

以上から、両方正解者の数を増やしていく（A正解者の集合とB正解者の集合の重なり部分を大きくする）と二問とも不正解者の数が増えていくことが判ります。では上記の重なり部分はどこまで大きくできるかというと、それはB正解者の集合がA正解者の集合にすっぽり入ってしまった状態です。このとき
Aのみ正解４人　（３１－２７）
Bのみ正解０人
両方正解２７人
で合計３１人ですから、両方不正解は９人です。

お礼

懇切な説明、どうもありがとうございました。とても分かりやすく
私にも十分理解できました。重なり部分を増やしていくという発想に
至りませんでした。頭を柔らかくしないとだめですね。

回答No.2

mister_moonlight

Ａだけを正解した人をx、Ｂだけ正解した人をy、両方正解した人をz、両方駄目な人をw　とする。
x＋y＋z＋w＝40　‥‥(1)、x＋z＝31‥‥(2)、y＋z＝27‥‥(3)
(2)から、x＝31-z≧0、(3)から、y＝27-z≧0　よって、z≦27‥‥(4)
(1)～(3)より、z＝18＋w　これを(4)に代入すると、w≦9.

＞（１) ２題とも正答した生徒は何人以上か。

以下　の間違いではないか？

お礼

どうもありがとうございました。なるほど方程式という手があるのですね。
参考になりました。
問題を見返しましたが、（１）は２題とも正答した生徒は何人以上か　となっています。