集合の問題について教えてください。

質問

集合の問題について教えてください。
40人のクラスで3問のテストを行ったところ、各問ごとに正解者の人数は右下の表のようになった。1題だけ正解した人の数が最も多いような場合の人数はどれか。

解説↓
1題だけ正解した人をできるだけ多くするためには、一題も政界しなかった人は0人とすればよい。
このとき、
1題だけ正解した人をx人
2題だけ正解した人をy人
3題だけ正解した人をz人
とすると、条件より
x+y+z=40・・・ア
x+2y+3z=27+25+31・・・イ
となる。
アとイを整理して
z=x+3・・・ウ
ウをアに代入して
2x+y=37・・・エ
y≧0より
y=37-2x≧0
37≧2x
x≦18
より、x=18のとき、y=1,z=21。
このときy=1の1人が仮に、問題1,2を正解したとすると、ベン図のようになる。
以上より、1題のみ正解したのは、
3+5+10=18
となるのが最大。

解説でx+2y+3z=27+25+31とありますが、何でｙに2、zに3をかけているのかよく分かりません。
この式の意味を教えてください。

回答No.2

jamesshima · ベストアンサー

1題正解した人をx、2題正解した人をy、3題正解した人をzとした場合、
2題正解した人というのは第1と2問目または第2と3問目、または第3と1問目のうちのどちらかの組合せで正解したことになります。
従って、正解者の数としては2回数えられているので2倍(2を掛けた数)の2yとなります。
同じように3題正解した人は、第1問目の正解者の中にも数えられているし、第2問目、第3問目でも数えられているので3倍の3zになります。

補足でした。

回答No.1

Kules

その表とやらが見当たらないので推測ですが、
第1問を正解したのが27人、
第2問を正解したのが25人、
第3問を正解したのが31人
といった感じでしょうか？

では、ある人がどの問題を正解しても
１点ということにすれば
とすると、イ式の右辺は全員で獲得した
合計点ということになります。

そして、
1題だけ正解した人をx人
2題だけ正解した人をy人
3題だけ正解した人をz人
とするならば
x人はx点、y人は2y点、z人は3z点
獲得したことになるので、
イ式は左辺も右辺も全員で獲得した
合計点を表していることになります。

なお、説明しやすいように点数を持ち出しましたが、
要は「全員ののべ正解数」のことです。

以上、参考になれば幸いです。

補足

ご回答ありがとうございます。
＞その表とやらが見当たらないので推測ですが、
＞第1問を正解したのが27人、
＞第2問を正解したのが25人、
＞第3問を正解したのが31人
＞といった感じでしょうか？
その通りです。
忘れてしまっていてすいません。