数学の極限について質問です。

質問

数学のとある問題で
『x^2/e^x→0(x→∞)となることを用いてよい』
ということが書いてあったのですが
なぜそうなるのかが気になってしまいまして・・・
よろしければ教えて下さい(_ _*)

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

汎用性があるように
x^n/r^x→0 (x→∞) ただしr>1
を証明してみましょう。(|r|>1でも良いがここではわかりやすくするためにr>1とします)

r=1+α (α>0)とおきます。
どんな実数x>1に対してもN≦x<N+1となる自然数Nが必ず存在します。

このとき、
x^n/r^x<(N+1)^n/(1+α)^N=(N+1)^n/{Σ[k:0～N]NCk*α^k} (2項定理より)　　(☆)

ここでx>n+2とするとN>n+1となりますので
Σ[k:0～N]NCk*α^k<Σ[k:0～n+1]NCk*α^k<NC(n+1)*α^(n+1)=N*(N-1)*…*(N-n)*α^(n+1)/{(n+1)*n*(n-1)*…*1}
となります。

この関係を(☆)に入れるとx>n+2では
x^n/r^x<(N+1)^n/[N*(N-1)*…*(N-n)*α^(n+1)/{(n+1)*n*(n-1)*…*1}]
この一番右の式は、分子がNのn次式であり分母がNのn+1次式となります。
よってx→∞の極限を取るとN→∞となりますのでこの式の一番右の式は"0"に収束します。
もちろんx^n/r^x>0ですからはさみうちの定理から
x^n/r^x→0
となります。

r<-1の場合は絶対値をとってから同じ方法で証明できます。

今回の問題の場合、e>1ですのでx^2/e^x→0となります。

お礼

こんなに細かく、しかも分かりやすく書いていただき嬉しいです。
ありがとうございました！

回答No.3

noname#152422

実数xに対してe^x=∑_n=0^∞ (x^n)/(n!)を既知とすれば、

x>0のとき、e^x≧(x^3)/(3!)なので、0<x^2/e^x≦(x^2)*(3!)/(x^3)=(3!)/x

最後の不等式の右辺→0(x→∞)なので、挟み撃ちの原理からx^2/e^x→0(x→∞)

お礼

回答ありがとうございます！
端的な説明で分かりやすかったです。

回答No.1

sanori

こんにちは。

ｘ^2／ｅ^x　⇒　０
というのは、分子の増え方の勢いより分母の増え方の勢いの方がものすごいということです。
ｅという記号だとわかりにくいので、ｅ＝２．７、いえ、ハンディをつけて　ｅ＝２　としちゃってもいいぐらいです。

ｘ^2／２^x
ｘ＝０　から始めて、ｘを１ずつ増やすと、
分子は、
０、１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００、１２１、１４４、・・・
と地道に増えていきます。
ところが分母は、
１、２、４、８、１６、３２、６４、１２８、２５６、５１２、１０２４、２０４８、４０９６、・・・
となり、ものすごい勢いで増えていきます。
ｅ＝２．７　にしたら、さらにすごいことになります。
分母のこの勢いには、分子はとてもかないません。

指数関数にとって、二次関数などというものは敵ではないのです。

お礼

高校生の私でもしっかりと理解できるような説明をしていただき
ありがとうございます(_ _*)