確率変数の変換について（2つの確率変数の和）

質問

毎々お世話になっております．
このたびは，2変数の確率変数の変換について質問させていただきます．

［問］
X1およびX2はi.i.d.でそれぞれ[0,1]の区間で一様に分布している．
Y=X1+X2の確率密度関数を求めなさい．

上記の問いに関してですが，
X1,X2の密度関数はf(xi)=1 for　0<=Xi<=1　i=1,2 であり，
同時確率はf(x1,x2)=1 for 0<=x<=1 であるというところまでは分かりました．
また，X１＝Y－Z，X2=Zとすることで，ヤコビヤンJ＝１であるというとろこまではできました．
しかし，これ以降，どのように考えれば良いのかが分かりません．
直感的に，X1とX2が一様に分布しているために，Y=X1+X2は0<=y<=2の範囲に分布し，
y＝１のときにg(y)が最大になるのであろうと考えられ，
g(y)=y for 0<=y<=1 g(y)=2-y for 1<y<=2 1という確率密度関数になるであろうことは分かります．

このような考え方が正しいかどうかも含めて，この問題の解法をご教示いただけないでしょうか？
何卒よろしくお願いいたします．

回答No.1

guuman

X1とX2の密度をp(x)とする
X1とX2が独立だから
(X1,X2)の密度はp(x1)・p(x2)となる
よってZ=X1+X2の分布は
F(z)=∫∫[x1+x2<z]dx1dx2・p(x1)・p(x2)
よってZ=X1+X2の密度はF'(z)である
F'(z)を求めて補足にかけ
なおδ関数を知っていればh(x)をヘビサイド関数として
F(z)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-x1-x2)
をzで微分すればよいのだから解は瞬時に求まる

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございませんでした．

ご教示いただいた方法とは別の解法ですが，
無事に答えを求めることができました．

ご回答いただいた内容に関しては，
ヘビサイド関数とは何？という疑問があり，
全然理解できておりません．

万一，今後ヘビサイド関数を使用する機会があれば，
再度この場で質問させていただきます．
その折は，何卒宜しくお願いします．

ご回答いただき誠にありがとうございました．