確率の問題です。

質問

例題を示します。
１から１０までの数字が書かれた１０枚のカードを２枚めくったとき、1回目にでた数字の確率変数をX、２回目をYとし、結合確率分布関数をF（x,y）および結合確率密度関数をf(x,y)、X、Yのとする。
またそれぞれの試行の確立分布と確率密度関数をF(x)、F(y)およびf(x)、f(y)とするとき、

f(5,7)

F(2,6)

F(-∞,0)

F(6,∞)

の求め方を教えてください。
解答がなくて困ってます。

回答No.1

apollonius · ベストアンサー

1枚目にめくったカードを元に戻さずに、2枚目のカードを引くものと仮定します。

1枚目の数字が何であろうとも、数字の出る確率が等確率であれば、その数字が出る確率は1/10です。すなわち、f(x)＝1/10 (x=1,2,...,10)。

2枚目の数字が出る確率は、その数字が1枚目に出た数字と同じものであれば、確率は0、それ以外の数であれば1/9です。すなわち、f(y)=1/9 (x=1,2,...,10)。

変数Xの確率分布関数は、

　F(x)=Σ[-∞,x]f(x)=Σ[-∞,x]1/10

より、

　1) F(x)=0 (x<=0)
　2) F(x)=x/10 (0<x<=10)
　3) F(x)=1 (10<x)

となります。同様に、変数Yの確率分布関数は、

　1) F(y)=0 (y<=0)
　2) F(y)=y/9 (0<y<=x)
　2) F(y)=(x-1)/9 (y=x)
　2) F(y)=(y-1)/9 (x<y<=10)
　3) F(y)=1 (10<y)

となります。

結合確率密度関数は、

　1) f(x,y)=0 (x=y)
　2) f(x,y)=1/90 (x not = y)

結合確率密度関数をグラフに描いたイメージは、x-y平面のx=1～１０、y=1～10の範囲の正方形で、対角線上の値が0で、その他の点の値が1/90となっています。よって、分布関数は、

　1) F(x,y)=0 (x<=0, y<=0)
　2) F(x,y)=(xy-x)/90 (x<y) (0<x<=10, 0<y<=10)
　3) F(x,y)=(xy-y)/90 (y<x) (0<x<=10, 0<y<=10)
　4) F(x,y)=1 (10<x, 10<y)

となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

F(-∞,0) とか、F(6,∞) とか、何だかなぁ。
X, Y の変域が { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } なのか、
それ以外の実数でもよいのか…すら、マトモに定義できていない
気が。