微分積分（同次形）について

質問

以下の問題の考え方、過程を教えてください。
１．微分方程式 xy y' + X^2 + y^2 - xy = 0
は同次形か？
２．微分方程式 x^2 y'=y^2 + x^2 y は同次形か？

１．２ともy'=の式に直して式変形しましたが
１は1-(x/y)-(y/x)
２は(y/x)^2 + y
となりましたがどちらもy' = f(y/x)の形になりません。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

１の微分方程式 xy y' ＋ x^2 ＋ y^2 －xy ＝ 0 は，

y' ＋ 1/(y/x) ＋ y/x －1 ＝ 0

と変形できますから，y'＝f(y/x) の形なので，同次形です．

２の微分方程式 x^2 y'＝y^2 ＋ x^2 y は同次形ではありません．

この微分方程式を変形すると，

y'－y＝(y^2)/(x^2)

となります．これは，ベルヌーイ（Bernoulli）型の常微分方程式と言います．

y'－y＝(y^2)/(x^2) に対して，z＝1/y とおくと，

z に関する１階線形常微分方程式となり，求積法で解くことが出来ます．

回答No.1

alice_44

y’= 1 - (x/y) - (y/x) は、y’= f(y/x),　f(u) = 1 - (1/u) - u ですよ。
y’= (y/x)^2 + y は、同次形ではありません。
y/x = u で変数変換して、変数分離形になるかどうかで判定するのも一手です。