微分積分

質問

１．次の関数の第２次偏導関数を求めよ。
(1)f(x,y)=(1/x)e^xy 　x分の1　eのxy乗です
(2)f(x,y)=tan(x^2×y)　　x二乗yです

２．f(x,y)=arctanx/yがラプラス方程式△f=0を満たすことを示せ。

３．次の関数の(0,0)を中心とする第２次テイラー展開を求めよ。
(1)f(x,y)=x+1/1-y
(2)f(x,y)=log(1-x+2y)

以上の問題が分からないので、教えてください。
できれば、計算過程もお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
ヒントをあげましたが応答なしですね。
ヒントを元に自力で解答を作り補足に書いて下さい。
まだ、分からないところがあればどこの何が分からないかを質問してください。

A#1の追加ヒントを補足しておきましょう。
１(1)のヒント）
> まずfx,fyを求めてから
f(x,y)=(1/x)e^(xy)

yを定数とみなしf(x,y)をxで微分する
fx=∂f/∂x=(1/x)' e^(xy) + (1/x){e^(xy)}'　←積の微分
=(-1/x^2)e^(xy)+(1/x){e^(xy)}(xy)' ←合成関数の微分
=(-1/x^2)e^(xy)+(y/x){e^(xy)}
={(xy-1)/x^2}e^(xy)　←分数の通分とe^(xy)の括りだし

xを定数とみなしf(x,y)をyで微分する
fy=(1/x){e^(xy)}'=(1/x){e^(xy)}(xy)' ←合成関数の微分
　=(y/x)e^(xy)

> fxx,fxy,fyx,fyyを求める
yを定数とみなしfxをxで微分する
fxx=∂(fx)/∂x
　={(xy-1)/x^2}' e^(xy)+{(xy-1)/x^2}{e^(xy)}' ←積の微分
　=[(y/x^2)-{2(xy-1)/x^3}]e^(xy)+{(xy-1)/x^2}y e^(xy)
=... ←　式の整理をする

xを定数とみなしfxをyで微分する
fxy=∂(fx)/∂y={(xy-1)/x^2}' e^(xy)+{(xy-1)/x^2}{e^(xy)}'
=(x/x^2) e^(xy)+{(xy-1)/x^2}{e^(xy)}(xy)'
=(1/x)e^(xy)+{(xy-1)/x}e^(xy)
=y e^(xy)

yを定数とみなしfyをxで微分する
fyx=∂(fy)/∂x
=(y/x)' e^(xy)+(y/x){e^(xy)}'
=(-y/x^2)e^(xy)+(y/x)ye^(xy)　←　ye^(xy)で括り分母を通分
=...　←　後は整理するだけ。

xを定数とみなしfyをyで微分する
fyy=∂(fy)/∂y
　=(y/x)' e^(xy)+(y/x){e^(xy)}'
=(1/x){e^(xy)}+(y/x)xe^(xy)
={(1+xy)/x}e^(xy)

2のヒント
f(x,y)=arctan(x/y)
公式d(atan(u))/du=1/(1+u^2)と合成関数の微分を使って
fx=[1/{1+(x/y)^2}](1/y)=y/(x^2+y^2)
fxx={-y/(x^2+y^2)^2}(2x)=-2xy/(x^2+y^2)^2
fy=[1/{1+(x/y)^2}](-x/y^2)=-x/(x^2+y^2)
fyy=... ←fyをyで偏微分。計算出来ますね。
fxx+fyyを計算し「=0」となることを示すだけ。

3
A#1の3の参考URLに例題がありますのでそれを参考に
(0,0)の回りの第2次テイラー展開（2変数テイラー展開）をやってみて下さい。

回答No.1

info22

全くの他力本願止めましょう。途中計算を書いて、行き詰って分からない所だけ訊いて下さい。全く分からない場合は諦める。

まず問題の数式の説明はいらないから、誰にも分かる式の書き方を、他のQAをみてマスターしてください。

１(1)f(x,y)=(1/x)e^(xy)
(2)f(x,y)=tan{(x^2)y}
ヒント）
まずfx,fyを求めてから
fxx,fxy,fyx,fyyを求める
偏微分はxで微分する場合はyを定数とみなす。ｙで微分する場合はxを定数とみなして微分すればよい。
偏微分を計算して補足に書いて下さい。

2.
f(x,y)=arctan(x/y)
ヒント）
ラプラス方程式△f=fxx+fyy=0を示すだけ。
偏微分fxxとfyyを計算して補足に書いて下さい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace's_equation

3.(1)f(x,y)=(x+1)/(1-y)
(2)f(x,y)=ln(1-x+2y)
ヒント）
第２次テイラー展開の定義式を調べて下さい。
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=190801
http://crab.rutgers.edu/~maslen/Courses/PChemII/1_Maths_Review/multi_variable_taylor_series_homework_solutions_totex.pdf