コイルとコンデンサの回路の問題です。

質問

図のような回路において、初期状態ではC1の電圧がVo、C2とC3の電圧は０，S1とS2はOFFである。
また、L2<<L1、C1=C2=C3であり、回路損失を無視する。
(1)S1がONになった後、C2の充電電圧の最大値はどのくらいまで達するか？
(2)S1がONになってからC2の電圧が最大になるもでの時間を求めよ。
(3)C2の電圧が最大になる瞬間にS2がオンになる。そこからL2が流れる電流が最大になるまでの時間を求めよ。
(4)(3)でのL2の電流の最大値は(2)の時間内にL1に流れる最大の電流の何倍か求めよ。

というような問題です。
(1)はC2への充電が完了した時、つまり等電位の時だと考え、そこから求める。
しかし(2)、(3)、(4)はアプローチの仕方もわからず、(1)も自信がないです・・・
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

SKJAXN

時刻tに対する関数f[t]の1次導関数をf[t]'、2次導関数をf[t]"で表すことにします。
また、C1=C2=C3=Coと置きます。
初期状態でC1に蓄えられていた電荷は、図でいうC1の上側に+Co*Vo、下側に-Co*Voです。

(1) C1→C2→L1→S1の方向に電流I2[t]が流れたと仮定すると、C1の上側に+Q1[t]、C2の下側に+Q2[t]が帯電すると言えるため、キルヒホッフの法則より
Q1[t]/Co+Q2[t]/Co+L1*I2[t]'=0
⇔Q1[t]+Q2[t]+L1*Co*I2[t]'=0 →{1}

電荷保存則より
-Co*Vo=-Q1[t]+Q2[t]
⇔Q1[t]=Q2[t]+Co*Vo →{2}

式{1}{2}からQ1[t]を消去して整理すると、
2Q2[t]+Co*Vo+L1*Co*I2[t]'=0 →{3}

また、電荷Qと電流IにはQ'=Iの関係があるため、式{3}は
Q2[t]"+2/(L1*Co)*(Q2[t]+Co*Vo/2)=0 →{4}

ω2^2=2/(L1*Co)とおくと、式{4}は電気振動の式であることが分かります。
電気振動の一般解は、
Q2[t]+Co*Vo/2=A1*sin(ω2*t)+B1*cos(ω2*t) →{5} ここでA1,B1は定数

Q2[0]=0かつ式{5}から、B1=Co*Vo/2と求まり、式{5}を式{2}に代入すると、
Q2[t]=A1*sin(ω2*t)+(Co*Vo/2)cos(ω2*t)-Co*Vo/2 →{6}

Q2[0]=0と式{6}から、A1*sin(ω2*t)の項を消去できる。以上より、
Q2[t]=(Co*Vo/2)cos(ω2*t)-Co*Vo/2 →{7}

ここでQ2[t]は式{7}より、-Co*Voから0の範囲ですが、C1→C2→L1→S1の方向に電流I2[t]が流れたと仮定したため、C2の上側は0からCo*Voの範囲となります。よって設問(1)の解答は、CoをC2に戻して、
C2*Vo;

(2) Q2[t]が初めて最大となる時刻は式{7}より、ω2*t=πとなる時、すなわちt=π/ω1=π*√(L1*Co/2)。よって設問(2)の解答は、CoをC2に戻して、
π*√(L1*C2/2);

(3) L2に最大電流が流れるということは、C3に電荷Co*Voが帯電する場合です。よってC2→S2→L2→C3の方向に電流I3[t]が流れたと仮定すると、C3の上側に+Q3[t]、C2の下側に+Q2[t]が帯電すると言えるため、キルヒホッフの法則より
Q3[t]/Co+Q2[t]/Co+L2*I3[t]'=0
⇔Q3[t]+Q2[t]+L2*Co*I3[t]'=0 →{8}

さらに電荷保存則より
-Co*Vo=-Q3[t]+Q2[t]
⇔Q3[t]=Q2[t]+Co*Vo →{9}

設問(1)と同様に解くと、
Q3[t]=(Co*Vo/2)cos(ω3*t)-Co*Vo/2 →{10} ただしω3^2=2/(L2*Co)

式{10}を微分して電流I3[t]を求めると、
I3[t]=-(Co*Vo/2)*ω3*sin(ω3*t) →{11}

ここでI3[t]は負ですが、C2→S2→L2→C3の方向に電流が流れたと仮定したためであり、実際は逆向きでした。よって、I3[t]が初めて最大となる時刻はω3*t=π/2となる時、すなわちt=π/2*ω3=π/2*√(2/(L2*Co))=π*√1/(2*L2*Co))。よって設問(3)の解答は、CoをC3に戻して、
π*√1/(2*L2*C3));

(4) 式{7}を微分して電流I1[t]を求めると、
I1[t]=-(Co*Vo/2)*ω2*sin(ω2*t) →{12}

やはりI1[t]は負ですが、C1→C2→L1→S1の方向に電流が流れたと仮定したためであり、実際は逆向きでした。よって、I1[t]が初めて最大となる時刻はω2*t=π/2となる時、すなわちt=π/2*ω2=π*√(1/(2*L1*Co)です。よって、L2の電流の最大値とL1に流れる電流の最大値の比(倍率)は、
I2/I1=π*√(1/(2*L2*Co))/(π*√(1/(2*L1*Co))=√(L1/L2);

別解：本回路には抵抗が存在しないため、L1の電流が最大となった時のコイルのエネルギーとL2のときのエネルギーは保存されます。よって、
1/2*L1*I1^2=1/2*L2*I2^2より、設問(4)の解答は、
I2/I1=√(L1/L2);