コンデンサの過渡現象についての問題です。

質問

下図のような回路の過渡現象についての問題です。
静電容量C1は端子電圧がE1に充電されていて、t=0で充電されていない静電容量C2に充電を開始します。
この時の電流iと、C1とC2の消費あるいは蓄えられるエネルギーを求めよ。

というような問題です。
それぞれに蓄えられる電荷の関係性がいまいち把握できず、回路方程式も立てられず困っております。
例えば、C1にQ1、C2にQ2の電荷が溜まったとすると、Rの端子電圧V=R(dQ/dt)のQはどのように表せるのでしょうか・・？

回答No.3

el156 · ベストアンサー

No.1です。補足します。
回路が閉じた後は普通のCRの時定数回路ですから、電流i(t)は、
i(t)=i0 x exp(-t/T)
i(0)=i0, i(無限大)=0だからこれで良いはずですね。
但し、
i0=E1/R
T=CR
1/C=1/C1+1/C2
です。勉強の為には微分方程式を一度解いておいた方がよいと思いますが。
エネルギーの計算は電流を積分する必要は無く、No.2の方が仰る通りです。即ち、Rの消費電力はRの値に関わらず一定です。Rが小さければ大きな電流で短時間に充電し、大きければ小さな電流で長い時間かけて充電するからです。R=0の問題はぜひ考えてみてください。エネルギーは何処へいってしまうのでしょうか。理解が深まると思います。電気回路は配線図という側面と数学的側面がありますが、この手の回路図ではCやRは演算記号に過ぎず、物理的な現実とそぐわない場合(R=0のとき)が出てきます。回路図を計算の道具と考える方が良いと思います。

補足

ご回答ありがとうございました。
R=0の場合でも、エネルギー損失は存在するわけですよね？
抵抗のジュール熱がないとすると、コンデンサでの放熱などでエネルギーを消費するということでしょうか・・？

回答No.7

el156

No.1です。再度補足します。
もし抵抗をインダクタに変えると、エネルギーは保存されます。物理と言うよりも数学的な話になってしまいますが、抵抗0ohmのLC回路なら永久に振動します。このとき、電流がゼロになる瞬間にスイッチを切ると(その時でないとスイッチを切ることができません!!)、2つのコンデンサに残っているエネルギーの合計は、最初にC1にあったエネルギーと等しいはずです。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.6

tadys

No.2です。
＞抵抗のジュール熱がないとすると、コンデンサでの放熱などでエネルギーを消費するということでしょうか・・？
（理想的な）コンデンサはエネルギーを消費しません。
現実的にはR=0は存在しないというのも超伝導が発見されるまでは良かったんですけどね。

実際の回路には大きさが有ります。
大きさが有る、つまり長さが有るところにはインダクタンスが存在します。
インダクタンスが存在するのでCR回路ではなくLCR回路を考える必要が有ります。
R=0の場合は、過渡現象が終息するのに必要な時間は無限大になります。
Lが有るために電流の値は有限に抑えられますが、エネルギーの移動はいつまでも続く事になります。

さらに突っ込むと、Cの電圧、Lの電流が周期的に変化するため電磁波が放射されエネルギーの損失が発生します。
この場合、最終的な結果は同じになるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.5

el156

すみません。No.4の回答を少し訂正します。
有限の電力→有限のエネルギー
電圧の異なる電池をスイッチで繋ぐ→電圧の異なる電池をスイッチで「並列に」繋ぐ
でした。

回答No.4

el156

こんばんは。No.1です。誘いに乗っていただいて嬉しいです。
R=0の場合、電荷が一瞬にして移動するので、無限小の時間に無限大の電流が流れます。現実の物理を無視して頭の中だけで考えるのなら無限大x無限小が有限の電力になるわけですが、もっと実践的に答えるなら、R=0の回路はあり得ない（論理的に矛盾している）ということです。例えれば電圧の異なる電池をスイッチで繋ぐようなものです。配線図としては電圧の異なる電池をスイッチでつなぐことは可能(過熱するのでお進めしませんが)ですが、解析の為の(数学的な)回路図としては電圧の異なる電池をスイッチで繋ぐことは、電池の定義上不可能です。電池からコンデンサへ充電するような単純な回路でも同じです。コンデンサは電圧の変化に比例する電流を流すように定義されていますから、抵抗を入れずにコンデンサの電圧を不連続に変えてしまうと無限大の電流を流さなくてはいけなくなってしまいます。

回答No.2

tadys

過渡現象を計算する必要はありません。

過渡現象が始まる前と終ったあとで電荷は保存されます。
また過渡現象が終わった時のコンデンサC1とC2の端子電圧は同じになります。

最初のC1の電荷をQ0、最終のコンデンサの電圧をE2とすると下記の関係が成り立ちます。
Q0＝Q1＋Q2＝E1*C1
Q1＝E2*C1
Q2＝E2*C2
これから E2＝E1*C1/(C1+C2)

C1についてはエネルギーは 1/2*C1*E1^2 から 1/2*C1*E2^2
C2についてはエネルギーは 0 から 1/2*C2*E2^2
に変化します。

Rの値は結果に影響しませんね。
それではR＝0の時はどうなるのでしょう。
これは時々出てくる質問です。
考えてみてください。

お礼

とても参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

el156

C1にQ1、C2にQ2の電荷が溜まったとき、Rの端子電圧V=C1Q1-C2Q2です。