微分積分学

質問

p>0とし、f(x)を区間I=[-p,p]で定義された関数とする。
このとき、以下を示せ。
(1)f(x)がI上連続ならば、あるa∈Iに対して
∫[-p→p]x^{2}f(x)dx=(2/3)p^{3}f(a)
が成り立つ。
(2)f(x)がI上連続、微分可能かつf'(x)がI上で連続ならば、あるa∈Iに対して
∫[-p→p]x f(x)dx=(2/3)p^{3}f'(a)
が成り立つ。

以上です。
お手数ですが、よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

f(x)は[-p, p]で連続ですから、x^2*f(x)は原始関数をもち、(d/dx)F(x)=x^2*f(x) をみたすF(x)を１つとります。
このとき、
∫[-p to p]x^2*f(x)dx=[F(x)]=F(p)-F(-p)ですから、題意は、
区間I内のあるaに対し、
F(p)-F(-p)=(2/3)p^3*f(a) ... (*)
が成り立つということです。このようなaが存在するとして、(*)をpで微分して、
F'(p)+F'(-p)=2*p^3*f(a), すなわち、
p^2*f(p)+p^2*f(-p)=2*p^3*f(a) ⇔ f(a)={f(p)+f(-p)}/2 ... (**)
ですから、(**)をみたすaがI内にとれることを示せばよいことになります。
f(-p)<f(p) のときは、
f(-p)<{f(p)+f(-p)}/2<f(p)　ですから、f(-p)<f(a)<f(p) をみたすaがI内に存在します（中間値の定理）。
f(p)≦f(-p) のときも同様。

2)
前問のように進めてみます。
(d/dx)F(x)=x*f(x) とすると、次式をみたすaがとれることを示します。
F(p)-F(-p)=(2/3)*p^3*f'(a)　より、
p*f(p)+(-p)*f(-p)=2*p^2*f'(a) ⇔ f'(a)={f(p)-f(-p)}/{p-(-p)} ... (*)
平均値の定理より、(*)をみたすaがI内に存在します。