微分可能なのに導関数が不連続？

質問

一般にｍ回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが（本で読みました。）
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続（導関数f'(x)が不連続）なのに滑らか（微分可能）ってのがどうもイメージできないので。

回答No.3

shushou · ベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x)　が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x)　が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ）、Bn=1/(2nπ+π/2)　としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(ｎπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
　=lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
　=lim(n→∞) {2/(2ｎπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
　=lim(n→∞) (2/(2ｎπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「　」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x)　が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

＞lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
＞= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

お礼

なるほど、振動しちゃう時はその一部のみの値を取る数列を考えればいいんですね。
いつもながら勉強になります。

ありがとうございました。

回答No.4

oodaiko

あちゃー。又やっちゃいました。どうも急いで書くとろくなことがない。

shushouさん＜
＞im(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
＞が成り立つのは lim f(x)、lim g(x)
＞がそれぞれ存在するときですよね。
おっしゃる通りです。

今の場合fに関してはlimが存在するが、gに関してはlimが存在しないのでしたから
lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
などどは言えませんね。
そもそも極限が存在しないのならこの式は意味がない。
そこで極限が存在しないことを言うには
shushouさんのような方法で示すしかない。

shushouさんの読まれた本の筆者も私と同様の慌て者だと思います。
どうも失礼しました。m(_ _)m

お礼

なるほどねー。shushouさんがあれだけかけてlim(x→0) f '(x)　が存在しないことを示されたのにはそう言う背景があったんですか。

> shushouさん
いつもの事ながら検算＆理解に時間がかかりますのでご返事は今しばらくお待ち下さい。

回答No.2

shushou

代表的で(数学科の人には)有名な例を。
f(x)=x^2 sin(1/x)　　(xが0以外)
f(0)=0
とします。
するとf(x)は微分可能ですが、
f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x)
は、x=0で連続ではなくなります。

回答No.1

oodaiko

それじゃ
f(x)＝x^2 sin (1/x)
などいかがでしょうか。
|sin (1/x)|＜1ですから
f(0)＝0となることはよろしいですね。
またx≠0なら通常の方法で微分可能ですね。すなわち
f'(x)＝2x sin (1/x) - cos (1/x)
となります。
x＝0の時は微分の定義に戻って
f'(0) = lim_{x→0} ( f(x) - f(0))/ x = lim_{x→0} ( x^2 sin (1/x) )/ x
= lim_{x→0} x sin (1/x)＝0
となります。すなわちfはすべての点で微分可能です。
しかし
lim_{x→0} f'(x)＝lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)
で、最後の式の第1項は0ですが第２項は不確定なのでf'(x)は0で不連続です。
（f'(x)が0で連続であると言うのはlim_{x→0} f'(x)＝f'(0)となるということでしたね。）

お礼

> |sin (1/x)|＜1ですから
> f(0)＝0となることはよろしいですね。

1/x自体x≠0でしか定義できないので
f(x) = x^2 sin (1/x) (x≠0), f(0) = 0
と定義された関数と考えた方がいい気がしますが。
数学の世界ではいちいちそう言う七面倒くさい場合分けはしないんですか？

後は納得です。要は普通の関数じゃなく、ちみちみした所でぐちゃぐちゃした関数とか、
そういうまともじゃない関数じゃないとなかなかこれに当てはまる例はないという事ですね。