数学のコンパクト性に関する質問です。

質問

R^n上のコンパクト集合の集合族(S_a)_a\inAの任意の有限添数集合族が空でない共通部分をもつときする。すると、集合族全体の共通部分は空でない。

の証明がわかりません。

英語でそれらしき回答はみつけたのですが、
Fix a member S of (S_a) and put T_a = S_a^c.
Assume that no point of S belongs to every S_a.

の２行目の部分で混乱しています。
すべてのS_aに対してSが共通部分をもたなければそれだけで矛盾になってませんか！？（汗）
背理法を用いて最終的に有限添数集合族が空でない共通部分をもつことと矛盾させて証明するようなのですが、どなたかわかる方教えてください。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

＞＞Assume that no point of S belongs to every S_a.

の部分ですが、たしかに表現が曖昧で誤解をし易い文章ですね。この意味は「Sの中のどの元もすべてのS_aに同時に属すことはない（すなわち、∩_{a}S_aに属さない）と仮定する」ということです。言い換えれば、「Sの各元sに対してある添字aが必ず存在してsはS_aの元ではない」です。
ここまでくれば背理法になってることも分かると思います。

お礼

なるほど。つかみの部分はよくわかりました。
もう一度挑戦してみようと思います(><)
ありがとうございました♪