数学基礎の問題です。

質問

実数Rの部分集合Ａ、Ｂには最小元があるとし、Aの最小元をa、Bの最小元をbとする。共通部分AかつBが空集合ではないとき、
　　　　　　max{a,b}≦inf{ＡかつＢ}
となることを示せという問題なのですが、よくわかりません。方針でも略解でもかまいませんので教えていただきたいです。よろしくおねがいします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

一般性を失うことなく
a ≦ b
を仮定しておく.

右辺の A∩B は b を含むか含まないかのいずれかだね.

お礼

素早い回答ありがとうございます。方針が立ちました。

回答No.2

MagicianKuma

ヒント
(1)inf(A∩B)があることを示した後、max{a,b}がA∩Bの下界であることを示せばよい。なぜならinfは下界全体の集合の最大元のことだから。
(2)考えている順序集合が実数全体Rだからどんな部分集合も下に有界なら必ず下限が存在します。
(3)max{a,b}がA∩Bの下界であることを示すのは簡単でしょう。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
ヒントをいただけたので解答方針がより明確になりました。
ありがとうございました。