ガロア体

質問

今友達が暗号化の勉強をしていて,ガロア体が分からないそうです.ぼくもよくわからないので，誰か分かりやすいHPを知っていたら教えてください．

回答No.4

keyguy · ベストアンサー

雑過ぎたので多少雑ですが修正します。

ｐを素数とすると
GF(ｐ）は｛０，１，２，・・・，ｐ－１｝
からなります。
掛け算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙをｐで割った余り
逆元は
ｘ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙをｐで割った余りが１になるｙでありｙをｘ＾（－１）とかく
割り算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙ＾（－１）をｐで割った余り
足し算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ＋ｙをｐで割った余り
引き算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ＋ｐ－ｙをｐで割った余り
｛０，１，２，・・・，ｐ－１｝に掛け算と足し算を以上のように定義すれば体になることは簡単に証明できます。

ｇ（ｘ）をＧＦ（ｐ）の元を係数とするｎ次既約多項式とすると
ＧＦ（ｐ＾ｎ）はＧＦ（ｐ）の元を係数とするｎ次未満の多項式全体で表現されます。
ＧＦ（ｐ）のときと同じようにｐの代わりにｇ（ｘ）を使って掛け算や足し算を定義すれば良いのです。
なおｇ（ｘ）を原始多項式に選べば
多項式ｘのべき乗で０以外のすべてのＧＦ（ｐ＾ｎ）の元（ｐ＾ｎ－１個しかない）を表現することができます。
以上はＧＦ（ｐ＾ｎ）の多項式表現ですが多項式の係数の並びで表現したものがＧＦ（ｐ＾ｎ）のベクトル表現です。

お礼

3度も回答ありがとうございます。友達も分かりやすいといってました。僕も勉強になります。ありがとうございました。

回答No.3

keyguy

分かりやすく説明してください．：

ｐを素数とすると
GF(ｐ）は｛０，１，２，・・・，ｐ－１｝
からなります。
掛け算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙをｐで割った余り
逆元は
ｘ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙをｐで割った余りが１になるｙでありｙをｘ＾（－１）とかく
割り算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙ＾（－１）をｐで割った余り
足し算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ＋ｙをｐで割った余り
引き算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ＋ｐ－ｙをｐで割った余り
｛０，１，２，・・・，ｐ－１｝に掛け算と足し算を以上のように定義すれば体になることは簡単に証明できます。

ｇ（ｘ）をＧＦ（ｐ）の元を係数とするｎ次既約多項式とすると
ＧＦ（ｐ＾ｎ）はｎ次未満の多項式全体で表現されます。
ＧＦ（ｐ）のときと同じようにｐの代わりにｇ（ｘ）を使って掛け算や足し算を定義すれば良いのです。
なおｇ（ｘ）を原始多項式に選べば恩恵を受けることができます。
多項式の係数の並びで表現したものがベクトル表現です。

この体はリードソロモン符号で重要です。
この符号は現在の主流の符号でＣＤに始まり大いに使われていてこれからも使われつづける符号です。

「リードソロモン符号を知らずしてディジタルを知っているという無かれ」
でしょうか。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます．今友達にメールで送りました．ありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

よこから口出しするようでなんなんですが、ここを一度覗かれてみたらいかがでしょうか。そんなレベルの話ではないということでしたら失礼します。
　　　　　　↓
http://www.fsinet.or.jp/~zenju/F_CRC_index.html#Japanese

お礼

回答ありがとうございます．早速友達にこのHPを教えます．

回答No.1

keyguy

実数体のほうが遥かに難しいのだから
元が有限個しかない有限体が難しいのはおかしいと思います。
何が難しいのでしょうか？

補足

簡単でしたら，分かりやすいHPか分かりやすく説明してください．確かに元は有限個（2^n個）だそうです．