ガロア理論:単拡大定理の意義

質問

ガロア理論で,有理数体を係数体として,その根をx1,x2,...xnとしたとき,これらの根を添加した体Q(x1,x2,...xn)と単拡大定理を使った拡大Q(V(x1,x2,...xn)とはどこが違うのでしょうか.もちろん表現として違うことはわかりますが,この根を変数とするパラメータVが存在することによって,体を扱う上で何が違うのでしょうか.単拡大定理の存在理由が今一つわからないので,教えてください.

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

たぶん，「有限次分離拡大は単拡大」の定理のことだと思うけど，
そういうときは，ちょっと保留して
先の議論を眺めるというのがよい方策でしょう．

わざわざ偉大なる先人達が「定理」として残しているからには
今は見えなくても何か裏があるものです．
ましてやGalois理論ですから，もうよってたかって整理されまくって
基礎的なところはとんでもなくすっきりしてるわけですので
＃私なんかは「Artinの教科書」には感動しましたよ・・線型代数すげーって＜なんか方向違う
＃＃いや。。実際はArtinすげーなんですけどね

とはいえ・・・これじゃあなんだから
例えば，記号の定義はなあなあにして
Q(x,y)が有限次分離拡大だとして，Q(x,y)=Q(x+y)なんてふうに
x+yによる単拡大になったとしましょう．
話が面倒だから・・・xもyもとりあえず二次にしちゃいましょう
そうすると
Q(x,y)の要素は形式的には 1,x,y,xy の四つで表現できる．
Q(x+y)だと x+y だけで表現できる．
この二つ・・・同じものだとしたら，どっちが「簡単」に見えますか？
つまり
Q(x,y)=Q(x+y)の要素zが
z=a+bx+cy+dxy = e+f(x+y)
と表した場合ですね，どっちが簡単かです

これに簡単に「こっちがイイ！」と答えられるのであれば
どっちかの表現は不要かもしれません．
けど・・・大抵はどっちも必要なんです．
理論を展開するには「x+y」だけのほうがきっとシンプルなことが多い．
けど，次数とか要素を具体的に計算するのはきっと「x,y」のほうがシンプルなことが多いです．
ついでにいうと，
同一の対象を二通り（以上）で表現してなんかやるのはお約束のパターンだから
表現方法は複数あったほうがうれしいだろうということもあります
ここらへんは，もうちょっと先にいけばみえてくるはずだと思う．

＃ぶっちゃけた話・・x=2^{1/2}, y=3^{1/2}がサンプル

お礼

早速のご回答有り難うございました.
おっしゃるようにf(x＋y)の方が簡単であることはよくわかります.
疑問に思っていることは,先を読めば出てくるのでしょうが,この単拡大定理が,ガロア拡大を考えていく上でどのような役割を果たしているのか,あるいは,いい方を変えれば,仮に単拡大定理が成立しなければ,方程式が解けるか解けないかの証明ができるのかという点ですがいかがでしょうか.
よろしくお願いします.