無理数とは+

質問

数学の質問なんですが、なぜ、無理数が存在するのですか？
例えば、有理数の２の平方根はなぜ、無理数の1.41412135623730950488…のように割り切れないのですか？
なぜ、割り切れない数字を二乗すると割り切れる数字になるのですか？
私は、ただ単に頭が悪いかもしれないのかもしれませんが、矛盾しているような感じがして、どうしても納得がいきません。
別にこれで、勉強に支障が出ているわけではありませんが、しっかり納得のいく理由が知りたいです。

回答No.6

kabaokaba · ベストアンサー

>No.5

有理数のなす集合は可算無限，
実数全体はは非可算無限．
証明はカントールの対角線論法．
有理数全体と無理数全体の和集合（disjoint union）が実数全体
そして，可算無限の有限和集合は可算無限

もっというと，
代数的無理数（これは可算無限）よりも
超越数（これが非可算無限）の方が多い．

ちなみに前回挙げた無理数の例は
たぶん超越数だと思う（たぶん，リウヴィル数になると思う・・証明してないけど）．

回答No.7

noname#171582

調べてみたらやはり
カントールの対角線論法で
無理数＞有理数
が証明されているようです。

回答No.5

noname#171582

無理数の数（個数）＞有理数の数（個数）
て本当かな？

有理数の数（個数）＞無理数の数（個数）
と思うけど。

回答No.4

alice_44

無理数は、存在するんでしょうか？
それは、哲学的に大変深い問題で、
数学で解決できるようなことではありません。
数学で言えるのは、無理数は有理数ではない
ということくらいです。
あと、「実数は便利だよ」とか。

例えば、一辺の長さが 1 の正方形は
対角線の長さが √2 になり、
√2 が無理数であることは、数学的に証明できます。
しかし、この過程で、
正方形の対角線に「長さ」が存在することは
誰も証明していません。ただ、そう仮定しただけです。
確か、「万物は有理数である」と主張した
ピタゴラス学派は、その辺でひっかかっていた
のだったと思います。

回答No.3

koko_u_u

二乗して 2 になる「数があるとしたら」そのような割り切れない数字になる。

ということです、一般的にそのような数が存在した方が都合がよい、という以上の理由はありません。

回答No.2

kabaokaba

そういうものだから
といってしまえばそれまでなんだけど・・・

数学では
「性質Aをみたすもの」
というのが存在すれば，当然「そうではないもの」
つまり，
「性質Aをみたさないもの」
というものを考えます．

そして，「性質Aをみたさないもの」が存在しないのであれば
そのことを証明しなければいけません．

さて・・・「無理数」とは「有理数ではない数」ということであり
さらに，有理数とは「分数で表せる数」です．
けっして「割り切れる・割り切れない」（おそらく，有限小数＝割り切れると
あなたは言ってるのだと思いますが）ではありません．
この段階で，間違えがあるのですが，そこは補正していきます．

有理数だけしか存在しないということは
無理数が存在しない，つまりどんな数でも必ず分数になるということを
証明しなければいけません．
しかし，これは無駄です．
分数で表せる（有理数である）ということは
10進小数であらわす（割り算する）と
有限小数なるか・無限小数ではあるが桁の値が循環する循環小数になることが
容易に証明されます．
しかし，「循環しない無限小数」は簡単につくれます．
たとえば
0.01001000100001000001.....
こんな風に，0の入り方を一つずつ増やせばいい
こうするとこれは無理数です．

ということで無理数は存在するのです．
実際は無理数の方が有理数の無限大倍（これは標語的な意味であり
決して「無限大倍」なんていう掛け算が存在するわけではない）存在します．

実数は「有理数」「無理数」に二種類があり
(√2)は単に分数で表せないから無理数であるというだけです．
二乗して2になる数を地道に計算していったら
いつまでたっても「割り切れない」というのは
ちょっと実際に計算してみればすぐ実感できるので
紙と鉛筆で計算してみみましょう
数学的な証明も容易です．

回答No.1

tadys

「√2 無理数 証明」で検索すれば説明がたくさん出てきます。
それを読んでも分からないのであれば、それのどこが分からないのか補足してください。