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確率の問題
↓この問題が 解けなくて 苦戦してます。 分かる方いませんか？ 次の条件を満たす４桁の正の整数 d4d3d2d1の個数を それぞれの場合に ついて求めよ。 (1)9≧d4＞d3＞d2＞d1≧0 (2)9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0 答えは(1)が210個 (2)が714個なのですが 解き方が分かりません。 分かる方教えて下さい。
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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 （１） 数字を大きい順に並べて、それぞれの左横に、Ａ～Ｊ の記号をつけます。 Ａ ９ Ｂ ８ Ｃ ７ Ｄ ６ Ｅ ５ Ｆ ４ Ｇ ３ Ｈ ２ Ｉ １ Ｊ ０ ここで、Ａ～Ｊの中から４つを選ぶ組を考えることにします。 そして、それら４つの右横にある数字を必ず左の順番から並べると、問題の条件に合う４桁の数になります。 つまり、Ａ～Ｊの１０個の記号の中から４つを選ぶ組み合わせの数を計算すると、 問題の条件に合う４桁の数の種類の数になります。 10Ｃ4 ＝ （１０×９×８×７）÷（４×３×２×１） ＝ ２１０ 本当は、Ａ～Ｊ などという記号を使わなくても、はなから ９～０ で考えればよいのですが、 私なんかは、無駄に Ａ～Ｊ を使うほうがイメージが湧きやすいです。 はなから ９～０ で考えるというのは、 「１０個の中から４つを選ぶ組み合わせの数を求めさえすれば、選んだ４つを大きい順に並べる作業なんて、後回しでいい」 という考えです。 （２） 今度は、Ａ～Ｊの中から４つを選ぶ際に、同じものを２回以上選んでよいものとします。 すると、 あ）４回１つ い）３回１つと１回１つ および ３回１つと１回３つ う）２回１つと２回１つ え）２回１つと１回１つと１回１つ および １回１つと２回１つと１回１つ および １回１つと１回１つと２回１つ お）１つと１つと１つと１つ の５通りに場合分けできます。 （あ）は、10Ｃ1 ＝ １０÷１ ＝ １０ （い）は、10Ｃ2・2Ｃ1 ＝ （１０×９）÷（２×１）×２÷１ ＝ ９０ （う）は、10Ｃ2 ＝ ４５ （え）は、10Ｃ3・3Ｃ1 ＝ （１０×９×８）÷（３×２×１）×３÷１ ＝ ３６０ （う）は、10Ｃ4 ＝ （１０×９×８×７）÷（４×３×２×１） ＝ ２１０ １０＋９０＋４５＋３６０＋２１０ ＝ ７１５ これで一見よさそうで、私もうっかり「７１５通り」と答えてしまいそうなのですが、 よく考えると、（あ）の「４回１つ」の「１つ」が Ｊ の場合だけ、００００ になって４桁の数とは言えなくなりますから、その分、１通り減らさないといけないですね。 もっと簡単な解き方があると思いますが、私の力量ですと、こんなもんです。
- さゆみ（@sayumi0570）
- ベストアンサー率27% (104/381)
１、 ０から９までの１０個から ４つを選ぶ 条件を満たすのは選んだもの１つに対して１通りだから （つまりおおきな順に並べた時） １０C4=210 ２、 これは箱と玉で考えました ０－９の番号のある箱に４つの玉を入れる 異なる箱に 同じ玉を入れる ５のはこに２つ ４のはこに２つ入れると ５５４４にたいおうする １つの場合に対して１つ対応するので １０種類の異なる箱に ４つの同じ玉を入れる場合の数と同じ １０H4=13C4=７１５ で ００００を除くので ７１４通り、
お礼
分かりやすい 説明ありがとうございます!! もう１度解いて みようと思います!! ありがとうございました!!
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 ちょっと手の着けようがなさそうに見えますね。 特に、(2)は少し「ワザ」がいります。 (1) 0～9の 9個の数から適当に 4つを選んでみてください。 その 4つの数からできる 4ケタの数で、題意を満たすものは何とおりありますか？ その対応がわかれば、「組合せ」の数として求められます。 (2) (1)と比べると「重複」が許されています。 このままでは考えにくいので、「ワザ」の登場です。 「ワザ」とは、「重ならないようにずらしてしまう」ということです。 一度、2ケタの数で考えてみます。 十の位：a、一の位：bとしたとき、0≦ a≦ b≦ 9を満たす数の個数は？ aと bが重ならないように bを 1ずらして「b+1」を考えてみると、a＜ b+1となります。 その代わり、もとの不等式は 0≦ a＜ b+1≦ 10となります。 ここまでくれば、(1)と同様に考えることができます。 これを 4ケタの場合で考えます。 そして、最後に -1しなければなりません。 「当てはまらない場合」が 1つだけあるからです。それは・・・ また一度、考えてみてください。
お礼
すごく助かりました。 ありがとうございます!! もう１度チャレンジ してみます!!
お礼
確かにＡ～Ｊと 考えたほうが イメージが つきやすいです!! すごくために なりました!! ありがとうございました!!