等差数列の問題です。

質問

9 で割れば 7 余り，15 で割れば 4 余る 3 けたの正の整数の総和を求めよ

という問題なのですが
上の条件を満たす整数を a とすると，ある整数 x, y に対し，
a = 9x + 7 = 15y + 4
9x - 15y=-3
3x - 5y=-1

というところまではわかったのですがここからどうやって３ケタの整数を求めるのか分からず困っております。基礎の質問とは思いますがご教授の方お願いいたします。
（等差数列の問題かな？とも思ったのですが、問題集の等差数列のセクションにあったので等差数列の質問とかかせていただきました。

回答No.1

halcyon626 · ベストアンサー

他にもやりようがありそうな気がしますが、
まずは、x、yの取る値の範囲を求めましょう。
ａが１００～９９９なので、題意より、
ｘ＝１０６～９９７
ｙ＝１０９～９９４
あとは、３ｘ－５ｙ＝－１を満たすものを探す！！
といったところで気付いたのですが、等差数列の問題でしたね。

まず始めに、９で割って７余り、１５で割って４余る３ケタの正の数字を２、３つ公倍数で出しましょう。
９ｘ＋７＝１０６、１１５、１２４、１３３、１４２、１５１、１６０、１６９、１７８、・・・
１５ｙ＋４＝１０９、１２４、１３９、１５４、１６９、１８４、１９９、・・・
公倍数の１２４から１６９までの差が４５。これは９と１５の最小公倍数です。
だからこの４５を使います。
題意を満たす正の３ケタの整数の初項が１２４、公差が４５の等差数列。
この等差数列は、１２４＋４５ｚで表せます。
３ケタの整数という条件なので、ｚ＝１～１９．よって項数は１９。
あとは、正式に当てはめれば解けると思います。

参考までに、

お礼

ご回答の方ありがとうございます。取り急ぎお礼だけさせていただきます。

回答No.3

mister_moonlight

＞Ｎ＝9x+7＝15y+4　(x、yは非負の整数)とすると、5y-3x=1　であるから、5(y-2)＝3(x-3)。
＞5と3は互いに素から、mを整数として、x-3=5m、y-2=3m　と表せる。

変形の方法が解りにくければ、xとyの一般解の求め方は、次のようにしても良い。

3x-5y＝-1　‥‥(1)　xとyの特別解の一つを(α、β)とすると、3α-5β＝-1　‥‥(2)
(1)－(2)より、3(x-α)＝5(y-β)である。
又、αとβの特別解の一つは(3、2)であるから、5と3は互いに素より、mを整数として、x-3=5m、y-2=3mと表せる。

先ほどの解法と共に、この解法は不定方程式というものの解法なんだが、最近の大学入試では頻出問題だから、是非とも憶えておいたほうが良いだろう。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。取り急ぎお礼だけさせていただきます。

回答No.2

mister_moonlight

数列の問題というより、整数の問題。

Ｎ＝9x+7＝15y+4　(x、yは非負の整数)とすると、5y-3x=1　であるから、5(y-2)＝3(x-3)。
5と3は互いに素から、mを整数として、x-3=5m、y-2=3m　と表せる。
そのとき、Ｎ＝9x+7＝15y+4＝45m+34 これが3桁の自然数から、100≦45m+34 ≦999。
よって、2≦m≦21であるから、Ｎの総和＝45(2＋3＋4＋‥‥‥＋20＋21)＋34*20＝結果は、自分で計算して。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。取り急ぎお礼だけさせていただきます。