f(x)=sin x と f(x)=3^x の交点

質問

この問題がわかりません。

次の連立方程式を解け。解をひとつあげよ。
{f(x)=sin x
{f(x)=3^x
グラフにすると交点は無数にあります。
これらの交点のxの値は
sin x=3^x
を解けばよいのですが、
sin x=3^x
log 3 sin x = x
(log 10 sin x)/(log 10 3) = x
log 10 sin x = x(log 10 3)
でxが両辺にあり、詰まってしまいました。
グラフに書けば絶対に1つの交点の座標くらいは求められるので、
計算で求める方法はないのでしょうか?

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

厳密解を「x=」の形で解析的に、つまり初等関数を使って、解くことは出来ません。
y=3^xとy=sin(x)の交点のx座標は
x≒-nπ(nは正整数）となりますが、Newton法などの数値計算で近似解を求めることが出来ます。Newton法を使う場合はxの初期値x0を与える必要がありますが、
x0=-nπ(n=1,2,3,…)またはその近似値を使えばいいですね。

参考URLの計算サイトWolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/
で「solve(sin(x)=3^x,x)」と入力して実行すれば
y=3^xとy=sin(x)のグラフを描き、数値計算による近似値を求めてくれます。
x1=-3.172249
x2=-6.282179
…
と求めてくれます。
「More digite」を繰り返しクリックすれば、より有効桁数の多い近似解を求めてくれます。たとえばx1なら
x1= -3.172249014340688071243066800907784712892542957295380113121577871192284724148...
などと求めてくれます。

お礼

求めることができないんですか!
驚きです。
たった対数と三角関数の組み合わせだけなのに・・・。
Wolfram Alphaはとても参考になりました。
方法まで教えていただき、ありがとうございます。
実はWolfram Alphaは前から知っており、元素のデータを調べるのに使っておりました。
しかし数値解析もできるなんて!と驚きました。

本当にありがとうございました。

回答No.2

graphaffine

>計算で求める方法はないのでしょうか?

#1の方が書いていますように、厳密解(誤差の無い解)を求めるのは困難(絶対にできないかどうかは、専門家でないから断言できないけど)ですので、近似解を求めて我慢するしかないでしょう。
従って、大学の課題にも思えない(近似解を求めよ、ならありうるけど、そうじゃないんですよね)ので、何故この問題が分からないと困るのかも見当がつかない。
宜しければ、問題の出所を教えてもらえますか。
どっかの企業が、新技術の開発のためにこのような計算が必要とか、なのかな。

お礼

ありがとうございました。

>宜しければ、問題の出所を教えてもらえますか。
どっかの企業が、新技術の開発のためにこのような計算が必要とか、なのかな。

いえ、そんなに深いわけではありません。
詳しく申しますと、高校で対数と三角関数を習っています。
そこで二つを組み合わせたとき、解は無限にあるが、計算で求めることができないのかな、と思っただけです。
「困ってます」にしないほうがよかったかもしれませんが、
前に自分で問題を作ったときに、三角関数を対数にする必要が出てきて、対数と三角関数を変換することができたりすればよいと思っていました。(どんな問題だったかは覚えていないですが)
ですから、結局のところ、これは自分で作った問題です。お手間を取らせてしまったのであれば、すみません。

回答ありがとうございました。