2つの関数グラフの交点を求める質問です。

質問

グラフ(1)
3次方程式
y=a*x^3+b*x^2+c*x+d

グラフ(2)
円の方程式
(x-m)^2+(y-n)^2=r^2

上記のグラフ(1)と(2)の交点(2箇所)の解を求める
式を導くことは出きるでしょうか？

回答No.7

info222_ · ベストアンサー

>具体的な係数の例を下記にあげておきます。
>y=(2.73942E-05)*x^3+(-0.001721589)*x^2+(0.040477691)*x+(124.1963927)
>(x-(-148.5))^2+(y-257.21)^2=(175)^2

>この例では、交点は２点になると思いますので。
この連立方程式を数値計算で解くと２組の実数解と４組の虚数解が得られます。
ここでは交点を求めることが要求されていますので、実数解の２交点のみ書くと
(x,y)=(-44.22398478110406, 116.6699251100649),
(-79.36585215407318, 96.44473757799064)
なお、２つのl交点間の２曲線で囲まれた領域の面積を数値積分でもとめると
S=81.05627
となります。

(参考)数値計算とプロットはフリーソフトのwxMaximaとGRAPESを使用しました。

回答No.8

info222_

３次曲線と円
y=(2.73942E-05)*x^3+(-0.001721589)*x^2+(0.040477691)*x+(124.1963927);
C:(x+148.5)^2+(y-257.21)^2=175^2;
の２交点を数値計算（フリーソフトwxMaxima使用）で求めると
(x,y)=(-79.36585215407318, 96.44473757799064),
(-44.22398478110406, 116.6699251100649)
となります。
なお、２交点間の３次曲線と円で囲まれた領域の面積Aは
A=81.05627‥‥
となります（添付図の青の斜線の領域。フリーソフトGRAPES使用）。

回答No.6

178-tall

< ANo.5
は検討用に座標シフトしたものでした。

原題をそのまま 2 乗して解くと … (含無縁根)

　　　↓

((2.73942E-05)x^3+(-0.001721589)x^2+(0.040477691)x+(124.1963927)-257.21)^2-(175)^2+(x-(-148.5))^2=0

Polynomial: +7.5044219364e-010x^6-9.43231067676e-008x^5+5.1815766105054e-006x^4-0.0074269746173373x^3
+1.4596279698247x^2+286.23183260983x+9119.8697269586=0
Warning Loss of precision for Coefficient x^6.
…
…
Solution is:
Root Iter. REAL IMAG
1: 6 - 4.422398478110409e+001
2: 6 - 7.936585215407315e+001
3: 0 - 9.508409122144882e+001 - i2.181141736096445e+002
4: 0 - 9.508409122144882e+001 + i2.181141736096445e+002
5: 0 + 2.197240279775803e+002 - i1.134852193857796e+002
6: 7 + 2.197240279775803e+002 + i1.134852193857796e+002
Compute time: 15 msec. Iterations 19

回答No.5

178-tall

力づくですけど。
参考 URL から　RootFinderSetup.exe　をダウンロードして、
((2.73942E-05)(x-148.5)^3+(-0.001721589)(x-148.5)^2+(0.040477691)(x-148.5)+(124.1963927)-257.21)^2-(175)^2+x^2=0
を解かせてみました。

Polynomial: +7.5044219364e-010x^6-7.6296710130084e-007x^5+0.00032345056635591x^4-0.080455546864288x^3+14.016912300743x^2-1261.0060199594x+40503.282917859=0

Warning Loss of precision for Coefficient x^6.
Represent:+7.5044219363999999E-10
Should be:+7.5044219364E-10
Warning Loss of precision for Coefficient x^5.
Represent:-7.6296710130083998E-7
Should be:-7.6296710130084E-7
Warning Loss of precision for Coefficient x^3.
Represent:-8.0455546864287741E-2
Should be:-8.04555468642877359E-2
Warning Loss of precision for Coefficient x^2.
Represent:+1.401691230074349E1
Should be:+1.40169123007434903509375E1
Warning Loss of precision for Coefficient x^1.
Represent:-1.261006019959374E3
Should be:-1.2610060199593741256690025E3
Warning Loss of precision for Coefficient x^0.
Represent:+4.0503282917859418E4
Should be:+4.0503282917859415781669680625E4

Method: Real Newton (Madsen)
Solution is:
Root Iter. REAL IMAG
1: 5 + 6.913414784592693e+001
2: 5 + 1.042760152188956e+002
3: 0 + 5.341590877855126e+001 - i2.181141736096444e+002
4: 0 + 5.341590877855126e+001 + i2.181141736096444e+002
5: 0 + 3.682240279775804e+002 - i1.134852193857796e+002
6: 9 + 3.682240279775804e+002 + i1.134852193857796e+002
Compute time: 0 msec. Iterations 19

参考URL：

http://www.hvks.com/Numerical/websolver.php

回答No.4

staratras

No.3です。少し補足します。ある程度の精度の数値解を求めるだけでよければ、3次関数上の点から円の中心までの距離(の2乗）を表す関数を作り、これが円の半径(の2乗）と一致するところを求めるのが簡単ではないでしょうか。ご質問の例でいえば、下の関数でf(x)=0となるxの値です。
円の半径の部分１７５^2を変えれば、異なる円に対応できます。

f(x)=(x+148.5)^2+((2.73942E-5)x^3-0.001721589x^2+0.040477691x-133.0136073))^2-175^2

表計算ソフト(LibreOffice Calcを使用）のゴールシーク機能を使って求めると、次の2つの解が得られました。（ただし普通に目標値を0とすると上の値しか得られなかったので、目標値を-1E-7にしたところ下の値が得られました。交点の数などはグラフなどで確認する必要があります。）
x=-79.3658521548
x=-44.223984782

この値にどこまでの精度があるかは確認していませんが、計算をしてくれるサイトで6次方程式を解いた値(小数第4位までの答えを返してくれました）とは四捨五入すれば一致しています。

お礼

早速のコメント有難う御座いました。

x=の値は、こちらのＣＡＤで描いた値とほぼ似た値になっていました。
円の方程式にｙの値を代入してあると言うことですね。

最終的には、x=．．．．の左辺の式が欲しかったのですが、
これは相当に困難なことでしょうか。

実は、２つのグラフと重なっている所の面積を求めるのが
最終目標なんですが、まず交点を求めて、次のステップで
面積計算を検討する予定でした。

これらも、エクセルのVBAを作る流れの作業内ですが、
ネットでの３次～６次方程式の解を求めるやり方をみても、
２分法とかで、Ｘの値を何分割かして変化させて０に近い値を
見つける、力技のようなやり方が多いようですね。

２つの関数に囲まれる面積計算の積分のやり方でも、
何分割かされたＸとＹの値の幅の合計を求める、力技が、
多いように思います。

コンピューターのない手計算だけの時代ではどうしていたのでしょうか？

ともあれ、今後のやりかたとして、ＶＢＡでＸの分割を細分して精度を
あげながらやって行くことにします。

いろいろヒントを頂き、有難う御座いました。

ヤフーの知恵袋とか、教えてＧＯＯにも質問しましたが、
このサイトが一番頼りになりました。

回答No.3

staratras

(1) y=a*x^3+b*x^2+c*x+d
(2)(x-m)^2+(y-n)^2=r^2

(1)を(2)へ代入すると、xについての6次方程式となります。
この方程式の相異なる実数解の個数はa,b,c,d,m,n,rの値次第で、最少で0個、最多で6個まであり得ます。つまり、(1)(2)のグラフの交点はない場合もあり、最大で6個まであり得るということです。

下の図は(1) y=x^3-9x^2+22x-8 と(2)(x-3)^2+(y-4)^2=3^2 の場合です。
交点が6個（α,β,γ,δ,ε,ζ）あります。この具体例を解く方針だけ示します。

(1)を(2)に代入すると下の6次方程式になります。
x^6-18x^5+125x^4-420x^3+701x^2-534x+144=0
ところがこの方程式は x^2-6x=X とおくと
X^3+17X^2+89X+144=0 というXの3次方程式に変わります。
これは相異なる3つの負の実数解Xを持ち
そのそれぞれのXの解をx^2-6x=Xに代入すると2つの相異なるxの実数解が得られます。
3×2=6　で、下の図の6交点に対応する6つの相異なるxの実数解が得られ、yの値も定まります。

回答No.2

mnakauye

こんばんは。

定数係数が　a,b,c,m,n,r　など未定であるのに、
なぜ交点が2箇所と決めておられるのですか。

添付図の例は
　3次曲線　ｙ＝x^3-x^2-2x　と
　2つの円　Ａ：　x^2+y^2=1
　　　　　 Ｂ： x^2+y^2=4
を例として示していますが、

　係数が確定する条件が無い限り、交点の数は、特定できません。

改めて質問の趣旨を明快におたづねください

お礼

早速のコメント有難う御座いました。

ちなみに、具体的な係数の例を下記にあげておきます。
y=(2.73942E-05)*x^3+(-0.001721589)*x^2+(0.040477691)*x+(124.1963927)

(x-(-148.5))^2+(y-257.21)^2=(175)^2

この例では、交点は２点になると思いますので。
(CAD図で大体の位置を確認しています。)

＞改めて質問の趣旨を明快におたづねください

円の位置が移動した時の値を知りたい為です。

回答No.1

shintaro-2

>上記のグラフ(1)と(2)の交点(2箇所)の解を求める
>式を導くことは出きるでしょうか？

もちろん可能ですが、
a,b,c,d,m,nなどが含まれたものになります。
当然、値によっては解なしになります。

１回、連立方程式として解いてみてください。

お礼

早速のコメント有難う御座いました。
連立方程式の解は、私の数学のレベルでは困難なので．．．．．。

ちなみに、具体的な係数の例を下記にあげておきます。
y=(2.73942E-05)*x^3+(-0.001721589)*x^2+(0.040477691)*x+(124.1963927)

(x-(-148.5))^2+(y-257.21)^2=(175)^2