重積分

質問

重積分ってのがよくわかりません。この問題の解説を通して教えてください

回答No.3

alice_44

積分 ∫[D] f(x) dx ってのは、
区間 D を 小区間 D_i の重ならない和に分割して
各 D_i 内から適当にとった点 x_i について
Σ f(x_i)・(D_i の幅) と計算した値が、
D_i の最大幅→0 で収束する極限のことでした。

重積分も同様で、質問のように２変数であれば、
∫∫[D] f(x,y) dxdy ってのは、
領域 D を 小領域 D_i の重ならない和に分割して
各 D_i 内から適当にとった点 x_i について
Σ f(x_i)・(D_i の面積) と計算した値が、
D_i の最大面積→0 で収束する極限のことです。

３変数以上でも、同様。

計算の手技上は、重積分は直交変数に関する
反復積分で処理できる…ことを使うのが通常です。

反復積分が何であるかは、A No.2 に紹介されています。
(あれは、重積分ではなく、反復積分についての解説です。)

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足質問について

重積分の言葉自体わかって見えないようですね。重積分の導入部分からの基礎から全くやって見えないなら、重積分のさわりから教科書を勉強しなおす必要がありますね。
高校の積分で習う2変数で積分する面積積分や体積積分などは重積分、または、2重積分と言います。教科書の積分のところを復習しなおされることをお勧めします。
復習しなおしてから、重積分の逐次積分法の所を勉強してからA#1の回答をお読み下さい。

一般的には重積分は以下のようになります。

２つの変数（仮に２つの変数をx,yとする）によって定義される関数f(x,y)について、点(x,y)の一定の領域Dで定義される積分を重積分（2重積分）といい次の積分のように表します。
∫∫[D] f(x,y) dxdy

同様に３つの変数x,y,zによって定義される関数f(x,y,z)について、点(x,y,z)の一定の領域Dで定義される積分を3重積分といい次の積分のように表します。
∫∫∫[D] f(x,y,z) dxdydz

同様にｎ個の変数x1,x2,…x_nによって定義される関数f(x1,x2,…,x_n)について点(x1,x2,…,x_n)の一定の領域Dで定義される積分をn重積分といい次の積分のように表します。
∫∫…∫[D] f(x1,x2,…,x_n) dx1dx2…dx_n

以上、2変数についての積分を重積分（2重積分）、多変数の重積分を多重積分といいます（単に重積分ということもある）。

回答No.1

info22_

I=∫∫[D] (x^2+y^2)dxdy
=∫[0,1]dx∫[0,1-x](x^2+y^2)dy
=∫[0,1] {[x^2 y +(1/3)y^3]_[y:0,1-x]}dx
=∫[0,1] {x^2 (1-x)+(1/3)(1-x)^3}dx
=∫[0,1] {-(4/3)x^3+2x^2-x+1/3}dx
=[-(1/3)x^4+(2/3)x^3-(1/2)x^2+x/3]_[0,1]
=1/6

なので(5)が答えです。

お礼

チンプンカンプンです。重積分とはってのを聞きたいんですが