重積分

質問

『D = {(x,y);x≧0 y≧0 x+y≦1} の面積を重積分の定義に基づき求めてください．ただし，分割は均等に分割でよい』
という問題で、定義に基づいて求めるやり方が分かりません。Ｄをｎ当分して、その面積の和をシグマを使って表して解いていかなければならないのかな、とは思うのですが…。。いまいち、うまく解答が作れません。
こういうふうに解答したらいい、というのがありましたらよろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

A#1の参考URLにある定義に従って
n×nの升目に領域を分割し、過小評価の面積s[n]と
過大評価の面積S[n]を求める。
（#2さんの式は領域Dに対する2重ΣΣの式になっていないので
　明らかに間違いでしょう。）

s[n]=Σ[j=1,n-1]{Σ[k=1～n-j](1/n)(1/n)}
S[n]=Σ[j=1,n]{Σ[k=1～n-j+1](1/n)(1/n)}
を求めると

lim[n→∞] s[n]≦S=∫[D] dxdy≦lim[n→∞] S[n}

の両側の極限が共に1/2に収束する一致することを示せば良い。

積分の定義からこの収束値が積分の値　S=1/2　となります。

s[n]とS[n]はΣの公式を使えば簡単に出てきます。
n→∞の極限値も簡単に出てきます。

他力本願だけに頼らず、頑張ってやってみてください。

回答No.2

noname#108210

>定義に基づいて求めるやり方
>Ｄをｎ当分して、その面積の和をシグマを使って表して

そのことを式にすればいいだけですね。
縦横n等分して，内側と外側での微小面積(1/n)(1/n)の総和の極限

s=lim[n→∞]Σ[k=1～n-1](1/n)(1/n)
と
S=lim[n→∞]Σ[k=1～n](1/n)(1/n)

が一致することを述べ，その極限値を答えればよい。

回答No.1

info22

次のULRの中に定義があります。それを参考にして下さい。
手書きでないと、
式の記号や添え字やΣの上付き、下付き文字、△の下付き文字が多く
書きにくいので参考URLを参考にして、定義式はご自分で手書きやTeXなどを使って書くしか難しいですね。
入力しにくいのでHPなどには余り載っていないかと思います。
なので自分で書いていただくしか無いですね。
参考
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node54.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node70.html
http://www.miyazaki-u.ac.jp/~yazaki/teaching/di/di-iint1.pdf
http://www.miyazaki-u.ac.jp/~yazaki/teaching/di/di-iint2.pdf

TeX/LaTeX（テフ、数式入力のためのフリーソフト）について
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texwiki/?TeX%E5%85%A5%E9%96%80

参考URL：

http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/calcmulti/node96.html