重積分

質問

3重積分の問題なのですが
D={(x,y,x)∈R^3|x+y≧0}
∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+x^2)^2)dxdydz
という問題なのですが，
どなたか解説お願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

ごめんなさい。
ヤコビアン間違っていますね。
(r^2)sinθdrdθdφ
ですね。
あと、θは0≦θ≦πです。これなら積分しても0になりませんね。

補足

積分範囲が違ったんですね^^;
簡単なミスを見落としてました。
解説ありがとうございました＾＾

回答No.1

rnakamra

D={(x,y,z)∈R^3|x+y≧0},∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydzですね。
この式であるとして問題をときます。

I=∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydzと置く。

u=-x,v=-yと置くと与えられる積分は
I=∫∫∫_D'(1/(u^2+v^2+z^2)^2)dudvdz D'={(u,v,z)∈R^3|u+v≦0}
となります。(ヤコビアンが"1"であることは簡単にわかると思います。)

u,vは単なる積分変数ですのでこれをx,yに置き換えると
I=∫∫∫_D'' (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz D''={(x,y,z)∈R^3|x+y≦0}
となります。
よく見ると、DとD''が平面x+y=0をはさんだ両側をあらわすこと、この両方を足すと全空間を表すことが判ります。
よって
2I=I+I
=∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz +∫∫∫_D'' (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz
=∫∫∫_(全空間) (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz

となります。つまりI=(1/2)∫∫∫_(全空間) (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz
この積分は、x,y,zから極座標r,θ,φに座標を変えます。
x=rcosθcosφ,y=rcosθsinφ,z=rsinφとして変数変換します。
(1/(x^2+y^2+z^2)^2)=1/r^4,dxdydz=(r^2)cosθdrdθdφ
範囲はr:0→∞,θ：0→π,φ：0→2πになります。
(確認してください。間違っているかも知れません。)

補足

すいません;;
式が∫∫∫_D (1/(1+x^2+y^2+z^2)^2)dxdydzでした…。
これを極座標変換して，はさみ打ちしようとしたのですが，
∫∫∫_D (1/(1+x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz
=∫∫∫_D' (r^2)cosθ/(1+r^2)drdθdφ
(D'={r,θ,φ∈R^3|r>0,0≦θ≦2π,-π/4≦φ≦3/4π})
でcosθの部分が0になってしまって…。
こちらで解説していただけないでしょうか??