差集算

質問

例題2 はろ美さんは1冊の問題集を１日１５問ずつ解いていくと、1日１０問ずつ解いていくよりも8日早く終わらせることができます。問題集は全部で何問ですか。
解説

○日解いたとき、1日10問解いていくと、残りは80問になり、1日で5問の差ができるので、80問÷5問＝16日問題集は、15問×16日＝240問

上のこの考え方が理解できません。
１５問解く日数をxとして、１５x＝１０（x＋８）から全問題数をだす方法だとわかるのですが・・・

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

差集め算もつるかめ残などは簡単な図を描いて、図形として理解すると良く分かると思います。

縦軸に一日に解く問題の数（１０問　と　１５問）、横軸が日数。
横軸の日数は、今は分かりませんが、１日１０問ずつ解いた日数は、一日１５問ずつ解いた日数より８日多いことが分かってますね。

ここで、二つの長方形を描きます。

縦を１５問として横を短い日数としたやや縦長の長方形と、
縦を１０問として横を長い日数とした横長の長方形を一部が重なる様に描いてみます。
一日１０問の方が、８日分横に長い長方形になりますね。

この長方形の面積は、１日に解く問題数と日数をかけているのですから、ある期間に解いた問題数ということになります。

両方とも解いた問題数は同じで、かつ重なっている部分は同じなのですから、１５問の方の縦長の長方形の重なり部分から上にはみ出ている部分と、１０問の横長の長方形の横にはみ出ている部分の面積（問題数）も同じです。

１０問の方の横にはみ出ている部分は、一日１０問　と　８日間　が分かっているので、１０問　×　８日　＝　８０問ということが計算できます。

ということは、１５問の方の縦にはみ出ている部分も８０問であることが分かり、上にはみ出ている辺の長さ（問題数の差）で割れば、１５問の時の横の辺（日数）が計算できます。
８０問　÷　（１５問　－１０問）　＝　１６日

一日１５問づつ解いた時は、１６日間で全部を解いたことになりますね。

全部の問題数は、　１５問　×　１６日　＝２４０問　となります。

中学生以上になると、質問者殿が書いている通り、
１５ｘ　＝　１０（ｘ＋８）
という一次方程式を組みますが、結局は、

　ｘ　＝　（１０　×　８０）　／　（１５　－　１０）

になり、上の考え方（小学生の差集め残）と同じになります。

ご参考に。

お礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

itukadarekato

補足

質問の前半部分はわかっていると考えて回答しましたが

念のために

２日たったときに　Aのケースは６問多く残っていますから
１日２問づつ解くとあと３日かかります

問題がBのケースが３日早く終わるという形では

３×２問＝６問　で　Aの多く残った問題数を出します

回答No.1

itukadarekato

理屈がわからないときは簡単なケースで考え直してみることです

10問の問題集を

A：　1日2問づつ解いた時
B:　 1日5問づつ解いた時

を考えます. 解く問題数は10の約数でないと具合が悪いのでこのようにします

Bのケースは2日で終わります
2日たったとき、AとBを比較してみます

1日目　A　2問　B　 5問　⇒　Aの方が　5問-2問=3問 多く残っている
2日目　A　4問　B　10問　⇒　Aの方が　2×(5問-2問)=2×3問=6問 多く残っている

2×(5問-2問)=2×3問=6問　という式から

　6問÷(5問-2問)=2　・・・　Bのケースの日数　

という式がでる理屈が分かりますよね

方程式でいうとあなたの式を次の様に変形した最後の式を考えています

１５x＝１０（x＋８）⇒　15x=10x+80 ⇒　(15-10)x=80

お礼

回答ありがとうございます。
簡単なケースにして考えるとわかりやすくなりました。

ありがとうございました。