変数分離法を用いて式の導き方を教えてください。

質問

dl/dx=-kclからl(x)=l(0)exp(-kcl)をみちびきたいのですが、途中でわからなくなってしまったので、教えてください。

　　　　　　　dl/dx=--kcl

df(x)/dx=f(x)(1-f(x))より

　　　　　　　dl/dx=--kcl(1＋kcl)

dl/-kcl(1＋kcl)=dx

両辺を積分して　　∫dl/-kcl(1＋kcl)=∫dx となる。

これを部分因数分解して ∫(1/-kcl＋1/1＋kcl)dl=∫dx

ここから先の導き方の続きがわからないです。教えてください。

最終的にはl(x)=l(0)exp(-kcl)に導きたいです。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

＞　exp=1/e^(x)という定義なのですが・・・

Σ(｀Д´　)/ってヲィ！

そんなんだれいうた。

回答No.2

alice_44

唐突に登場しているが、f(x) って何じゃい？
dl/dx = -kcl を解くのは、変数分離とかそういう問題じゃなく、
exp の定義は何か？というだけの話。

exp の定義は教科書によって異なり、どれかひとつを採用すると
他の「定義」は定理として証明できるようになっている。

今回質問との関連において、一番ちゃらい定義は、
微分方程式 df/dx = f, f(0) = 1 の解を f(x) = exp(x) と呼ぶ
というもの。リプシッツの定理により、一階正規形微分方程式
df/dx = f の初期値問題には、一意解が存在する。そのひとつに
名前をつけた…という立場。この定義の下では、質問の方程式は
z = -kcx と置けば自明となる。

他に、よくある定義としては、exp(x) = Σ[n=0～∞] (1/n!)x^n
というもの。右辺の冪級数が収束半径∞なので、exp は全実数上で
正則となる。この定義の下では、収束冪級数が収束域内で項別微分
できることにより、(d/dx) exp(ax) = a exp(x) が従う。
この式と質問の方程式を見比べれば、答えは出る。

その他、log(x) = ∫[t=-∞～x] dt/t で log を定義し、exp は
その逆関数とする…という手もある。A No.1 は、この流儀なのかも
しれない。

いずれにせよ、exp の定義を明らかにすることが重要で、
それなくしては、何を計算しているのか迷子になる。

お礼

expの定義を明らかにすることが重要なのですね。
exp=1/e^(x)という定義なのですが・・・

回答No.1

spring135

dl/dx=-kcl

dl/l=-kcdx

両辺積分して

log(l)=-kcx+c

l=exp(-kcx+c)=Cexp(-kcx)

x=0のときl(0)とすると

C=l(0)

よって

l(x)=l(0)exp(-kcx)