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数学の積分問題に関する質問です

実数a,bと自然数nに対して、(acosx+bsinx)^2nを閉区間[2π,0]において積分したものをIn、(sinx)^2nを閉区間[2π,0]において積分したものをJnとおく (1)In=(a^2+b^2)^n×Jnを示せ (2)JnとJn-1(n≧2)の関係式を求め、Inを求めよ できれば途中式や考え方なども明記していただけると幸いです。 あと、定積分ってキーボードではどのように打てばいいんでしょう?  見難いかとは思いますが、よろしくお願いします。

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回答No.2

(1) acosx+bsinx=√(a^b+b^2)sin(x+α)と表せる。 (αはどういう角度か書くべきですが、ここでは省略します) よって、In=∫[0→2π](√(a^b+b^2)sin(x+α))^2ndx =(a^2+b^2)^n∫[0→2π](sin(x+α))^2ndx となる。 ここで、x+α=tとおくと、 ∫[0→2π](sin(x+α))^2ndx=∫[α→2π+α](sint)^2ndt =∫[α→2π](sint)^2ndt + ∫[2π→2π+α](sint)^2ndt ※ 第2項において、t-2π=sと置くと、第2項は、 ∫[0→α](sins)^2ndsとなるから、結局、 In=∫[α→2π](sint)^2ndt + ∫[0→α](sins)^2nds となり、t、sを改めてxと置くと、 ※=∫[α→2π](sinx)^2ndx + ∫[0→α](sinx)^2ndx =∫[0→2π](sinx)^2ndx よって、In=(a^2+b^2)^n∫[0→2π](sinx)^2ndx =(a^2+b^2)^n×Jn (2) Jn=∫[0→2π](sinx)^2ndx =∫[0→2π]sinx・(sinx)^(2n-1)dx =[-cosx・(sinx)^(2n-1)][0→2π]-∫[0→2π](-cosx)・(2n-1)・(sinx)^(2n-2)・cosxdx (↑部分積分です) =(2n-1)∫[0→2π](cosx)^2(sinx)^(2n-2)dx =(2n-1)∫[0→2π](1-(sinx)^2)(sinx)^(2n-2)dx =(2n-1)∫[0→2π]((sinx)^(2n-2)-(sinx)^2n)dx =(2n-1)(Jn-1-Jn) よって、 Jn=(2n-1)/(2n)・Jn-1 となり、これを繰り返すと、 Jn=[(2n-1)(2n-3)]/[2n(2n-2)]・Jn-2 =[(2n-1)(2n-3)(2n-5)]/[2n(2n-2)(2n-4)]・Jn-3 =・・・ =[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・3]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・4]・J1 となる。 J1=∫[0→2π](sinx)^2dx =π なので、 Jn=[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・3]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・4]・π となり、 In=(a^2+b^2)^n[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・3]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・4]・π となる。 以上、検算していないのでミスってるかも知れませんが。 注:∫は、「いんてぐらる」と打って変換すれば出てきます。

honeysuckle
質問者

お礼

とても参考になりました! ただ、Jnを求めるときはJn=[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・1]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・2]J0まで変形しちゃったほうが楽じゃありません? J0=2πですし。 まぁ(1)から解けなかった身で言うのもアレですが…。とにかくありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

(1) かっこの中を処理する. (2) J(n-1)-J(n) を部分積分.

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