数学の積分問題に関する質問です

質問

実数a,bと自然数nに対して、(acosx+bsinx)^2nを閉区間[2π,0]において積分したものをIn、(sinx)^2nを閉区間[2π,0]において積分したものをJnとおく
(1)In=(a^2+b^2)^n×Jnを示せ
(2)JnとJn-1(n≧2)の関係式を求め、Inを求めよ

できれば途中式や考え方なども明記していただけると幸いです。
あと、定積分ってキーボードではどのように打てばいいんでしょう？　
見難いかとは思いますが、よろしくお願いします。

回答No.2

springside · ベストアンサー

(1)
acosx+bsinx=√(a^b+b^2)sin(x+α)と表せる。
（αはどういう角度か書くべきですが、ここでは省略します）
よって、In=∫[0→2π](√(a^b+b^2)sin(x+α))^2ndx
=(a^2+b^2)^n∫[0→2π](sin(x+α))^2ndx
となる。

ここで、x+α=tとおくと、
∫[0→2π](sin(x+α))^2ndx=∫[α→2π+α](sint)^2ndt
=∫[α→2π](sint)^2ndt + ∫[2π→2π+α](sint)^2ndt　※
第２項において、t-2π=sと置くと、第２項は、
∫[0→α](sins)^2ndsとなるから、結局、
In=∫[α→2π](sint)^2ndt + ∫[0→α](sins)^2nds
となり、t、sを改めてxと置くと、
※=∫[α→2π](sinx)^2ndx + ∫[0→α](sinx)^2ndx
=∫[0→2π](sinx)^2ndx

よって、In=(a^2+b^2)^n∫[0→2π](sinx)^2ndx
=(a^2+b^2)^n×Jn

(2)
Jn=∫[0→2π](sinx)^2ndx
=∫[0→2π]sinx・(sinx)^(2n-1)dx
=[-cosx・(sinx)^(2n-1)][0→2π]-∫[0→2π](-cosx)・(2n-1)・(sinx)^(2n-2)・cosxdx
（↑部分積分です）
=(2n-1)∫[0→2π](cosx)^2(sinx)^(2n-2)dx
=(2n-1)∫[0→2π](1-(sinx)^2)(sinx)^(2n-2)dx
=(2n-1)∫[0→2π]((sinx)^(2n-2)-(sinx)^2n)dx
=(2n-1)(Jn-1-Jn)

よって、
Jn=(2n-1)/(2n)・Jn-1
となり、これを繰り返すと、
Jn=[(2n-1)(2n-3)]/[2n(2n-2)]・Jn-2
=[(2n-1)(2n-3)(2n-5)]/[2n(2n-2)(2n-4)]・Jn-3
=・・・
=[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・3]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・4]・J1
となる。
J1=∫[0→2π](sinx)^2dx
=π
なので、
Jn=[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・3]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・4]・π
となり、
In=(a^2+b^2)^n[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・3]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・4]・π
となる。

以上、検算していないのでミスってるかも知れませんが。

注：∫は、「いんてぐらる」と打って変換すれば出てきます。

お礼

とても参考になりました！
ただ、Jnを求めるときはJn=[(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・・1]/[2n(2n-2)(2n-4)・・・2]J0まで変形しちゃったほうが楽じゃありません？　J0=2πですし。
まぁ(1)から解けなかった身で言うのもアレですが…。とにかくありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

(1) かっこの中を処理する.
(2) J(n-1)-J(n) を部分積分.