証明問題がわかりません

質問

二つの自然数m、nが互いに素であるとき、mとm＋nも互いに素であることを証明せよ

っていう問題がわかりません
背理法を使うのはわかるんですがそのさきがわかりません

どなたかお願いします

回答No.2

gohtraw

ｍとｍ＋ｎが互いに素でないとすると、ｍとｎが互いに素ではなくなることを示せばいい訳です。
　ｍとｍ＋ｎが互いに素でないということは共通の約数ｐが存在し、ｍ＝ｐ＊ｑ、ｍ＋ｎ＝ｐ＊ｒと表わされるということです。するとｎはｐ（ｒ－ｑ）となり、ｍと共通の約数を持ってしまいます。

回答No.1

sinisorsa

ｍとｍ＋ｎが互いに素でないとする。
すると、
　ｍ＋ｎとｍに公約数ｃが存在する。すると、
ある自然数ｑ、ｒに対して
ｍ＋ｎ＝ｑ・ｃ、ｍ＝ｒ・ｃ
ｎ＝ｍ＋ｎ－ｍ＝ｑ・ｃ－ｒ・ｃ＝（ｑ－ｒ）ｃ
明らかに、ｑ＞ｒだから、
ｎもｃで割り切れる。これは、
ｍとｎが素であることに矛盾する。
Ｑ．Ｅ．Ｄ．

お礼

お二方ありがとうございました