背理法

質問

P＾（ｎ/ｍ）が無理数であることを素因数分解の一意性を使って証明しようと思っているんですが、（ｐは素数、1≦ｍ＜ｎ、ｍとｎ∈N）素因数分解の一意性を使うと言う点で流れを頭に描ける分、文章に表すことができません。
どのようにしたらよいのでしょうか？

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

解答を見てみました。
大体あっているようですが、少々舌足らずのようです。

一応解答を書いておきます(この手の問題の解答の定石です)。

p^(m/n)が有理数と仮定する。
すると、p^(m/n)=a/b（a,bは互いに素）と書くことが出来ます。
よって、あなたの解答の通り、a^n=(p^m)*(b^n)と変形できます。
a^nはpで割り切れます。
pは素数ですから、aもpで割り切れます。
a=p*kと書くことが出来ます。

(pk)^n=p^m*(b^n)
やはりあなたの解答の通り、p^(n-m)*k^n=b^n
b^nはpで割り切れます。
pは素数ですから、bもpで割り切れることが分かります。

したがって、aとbが公約数pを持つことになります。
これは、a,bは互いに素であることに反しています。

したがって、p^(m/n)は無理数となります。

証明終わり

お礼

みなさん、ありがとうございました。
お礼が遅くなってしまってすみませんでした。
とても参考になりました。

回答No.2

quantum2000

回答Ｎｏ．１の「補足」の欄において、

証明の４行目、
いま、aはｐの倍数より、a=pk（ｋは整数）
とありますが、なぜ
ａはｐ（Ｐ？）の倍数
なのですか？

同様に、７行目、
ｂはｐ（Ｐ？）の倍数より、ｂ＝ｐｌ（ｌは整数）
とありますが、なぜなのでしょう？

回答No.1

secretd

条件式あってますか？
P=2,m=1,n=2のとき
P^(n/m)=2^(2/1)=2^2=4で全然無理数ではないですが．
mとnが逆じゃありませんか？

答えをいきなり書くのもあれですが，とりあえず考えてみたことを書いてみてはいかがでしょうか．

補足

訂正：P^(m/n)の間違いです。

P^(m/n)＝a/bとする。（a,bは互いに素）
両辺n乗して、P^m＝（a^n）/（b^n）
（b^n）（P^m）＝a^n
いま、aはｐの倍数より、a=pk（ｋは整数）
（b^n）（P^m）＝（ｐ^ｎ）（ｋ＾n）
ｂ＾ｎ＝ｐ＾（n-m）・ｋ＾ｎ
ｂはｐの倍数より、ｂ＝ｐｌ（ｌは整数）
（ｐ＾ｎ）（ｌ＾ｎ）＝ｐ＾（n-m）・ｋ＾ｎ
ｌ＾ｎ＝ｐ＾（ーｍ）・ｋ＾ｎ
ｐ＾ｍ＝（ｋ＾ｎ）/（ｌ＾ｎ）

したがってｐ＾ｍ＝（ｋ＾ｎ）/（ｌ＾ｎ）＝（a^n）/（b^n）となる。
有理数は素因数の一意性より一通りで書けるが、矛盾。
よって無理数。