証明問題に間違いがあるか添削お願いします。

質問

自然数a, b が互いに素であるなら a＾２ , b ＾２は互いに素であることを示せ。

a＾２,b＾２の最大公約数をＧとおく。（Ｇ＞０）
この時互いに素な自然数α、βを用いて
a＾２=αG,b＾２=βG
と表せる。これより
a=√αＧ、b=√βＧ（∵a,bは正）
よって√Ｇはa,bの公約数でもある。
aとbは互いに素であるから√Ｇ＝１であり
Ｇ＞０よりＧ＝１となる。
よってa＾２,b＾２の最大公約数は１なので
互いに素である。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

互いに素なら共通の素因数はない。
2乗すると各素因数の累乗数が倍になるだけで
新たな素因数はあらわれない。
よってa^2とb^2は互に素

くらいでいいんじゃないかな。

α、β、Gが全て平方数であることを示すことは
難しくないけど、そこを示さないと証明としては末完成です。

回答No.3

muturajcp

a=√(αG)
b=√(βG)

√(αG)=(√α)√Gの証明がありません
√(βG)=(√β)√Gの証明がありません
なぜ(√α)が自然数となるかの証明がありません
なぜ(√β)が自然数となるかの証明がありません
なぜ(√G)が自然数となるかの証明がありません

a,bが自然数で素因数分解の一意性の成り立つ整数環Zの要素だからこそ
a,bが互いに素→a^2,b^2が互いに素が成り立つのであって
素因数分解の一意性の成り立たない環では成り立ちません。

整数環Zに虚数√-3を付加した拡大環を
Z(√-3)={t+u√-3|t,u∈Z}
として
a=1+√-3
b=2
とすると
a,bの公約数は±1∈Z(√-3)だけれども
a^2=(1+√-3)^2=2(-1+√-3)
b^2=4
だから
a^2,b^2の公約数は2∈Z(√-3)で互いに素でない
G=2
α=-1+√-3
β=2
とすると
a^2=αG
b^2=βG
√α=(1+√-3)/√2
√β=√2
√G=√2
a=√(αG)=√α√G={(1+√-3)/2}√2
b=√(βG)=√β√G=√2√2
だけれども
√G=√2はZ(√-3)の要素でないから
a,bの公約数でない

証明には素因数分解の一意性を使う必要があります。
aの素因数分解を
a=Π_{j=1～m}a_j,(a_j>1)
bの素因数分解を
b=Π_{k=1～n}b_k,(b_k>1)
とすると
a^2=Π_{j=1～m}(a_j)^2
b^2=Π_{k=1～n}(b_k)^2
となる
a^2,b^2の最大公約数をGとおく
a^2=αG=Π_{j=1～m}(a_j)^2
b^2=βG=Π_{k=1～n}(b_k)^2
素数a_jはαGの約数だから
素因数分解の一意性により
素数a_jはαかGのどちらかの約数となる
a_jがGの約数と仮定すると
a_jはβG=Π_{k=1～n}(b_k)^2の約数となる
素因数分解の一意性により
a_j=b_kとなるb_kがある
a_j=b_k>1はa,bの公約数となるから
a,bが互いに素である事に矛盾するから
a_jはGの約数とならないから
a_jはすべてαの約数となるから
α=Π_{j=1～m}(a_j)^2
G=1
よってa^2,b^2の最大公約数は1なので
互いに素である。

回答No.2

noname#233222

＞a＾２=αG,b＾２=βG
＞と表せる。これより
＞a=√αＧ、b=√βＧ（∵a,bは正）
＞よって√Ｇはa,bの公約数でもある。

約数は自然数ですが、√Ｇが自然数でしょうか？　

平方根をとる操作で、上のような疑問が出てきますので、この問題は直接法ではなく、背理法で結論を否定して「a^2とb^2が互いに素ではなく、2以上の素因数を公約数にもつと仮定すると・・・」矛盾が生じることを言った方がいいと思います。

回答No.1

Willyt

『a＾２,b＾２の最大公約数をＧとおく』　のではなく、　『a＾２,b＾２の最大公約数をＧを持つとする』　とし、背理法で証明するのです。
すると√Ｇはa,bの公約数でもある。』ではなく、『するとa,b は公約数を持つことになり題意に反する』ということで証明終わりになります。