高校数学：ケーリー・ハミルトンの式

質問

高校の教科書に、
ケーリー・ハミルトンの式は、
行列Aの固有値を求める為の固有方程式、
K^2-(a+d)K+ad-bc=0（Kは実数）が成り立つ時、

Kを行列Aに、ad-bcを(ad-bc)E、0をＯに置き換えたらケーリー・ハミルトンの方程式導かれる。（A、E、Ｏはすべて2×2行列。Eは単位行列。Ｏは零行列）

と書いてあるのですが、ここで、実数と行列は別物のはずなのに、実数を行列に置き換えてよいのはなぜなのでしょうか…？
ふと疑問に思いました。
分かりやすく教えて頂けると嬉しいです。
分かりにくい表記の仕方で申し訳ありません。

回答No.2

alice_44

全くの偶然でもないのですが…
行列をジョルダン標準化して
ケイリー・ハミルトンの定理に代入し、
左辺の対角成分を見れば、
固有値が特性方程式の解であることは解ります。
その逆に、特性方程式だけから
ケイリー・ハミルトンの定理を導くことは
できないということです。
スカラーの方程式に行列は代入できませんから。

回答No.1

alice_44

置き換えてよい訳ではなく、たまたま
そのように置き換えたかのような式が
成立するというだけのことです。
「置き換え」は単なる暗記術であって、
ケイリー・ハミルトンの定理の証明は別にあります。

固有値の方程式を行列に置き換えてよいのなら、
A-kE=O も成立するはずですが、
そうはなりませんね。

お礼

単なる偶然の一致を利用した暗記術なのですね。
分かりました。ありがとうございました。