＜数学Ｃ＞ ハミルトン・ケーリーの定理に関する問題

質問

行列Ａ（a b）、Ｅ（1 0）が、Ａ^２-４Ａ＋３Ｅ＝０を満たすとき、
　　　 　c d 　 　 0 1
a＋d、ad-bcの値を求めよ。

という問題で、ハミルトン・ケーリーの定理を用いて式を出し、
与式と係数比較を行ってはいけないのはなぜでしょうか？

＊行列の表し方が微妙で申し訳ありません。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

「a+d=-4, ad-bc=3が答え」
というのが間違えだから．

A=E，A=3E
のケースも答えになりうるから．

数学的には，行列の場合には
AB=0だからといって，
A=0またはB=0となるとは限らないから．
＃ぶっちゃけた話，A=3E，A=Eの方が直観的な解であって
＃そうじゃないケースの方が，行列の特殊性（AB=0だからといっても
＃A=0またはB=0とは限らない，零因子の存在という）を反映している

解答的には
A^2-(a+d)A+(ad-bc)=0
A^2-4A+3E=0
で両辺を引き算して
-(a+d-4)A+(ad-bc-3)E=0
として，a+d=4かそうでないかで
場合分けが必要だから