連立方程式の解き方・・・

質問

こんにちは、高校2年生です。
行列A=（a b が関係式A^2-4A+3E=0を満たすとき、
c d)　　　　　(a+d,ad-bc)=?という問題について質問です(__)
これは本来ならケーリー・ハミルトンの定理を使って解くのですが、
敢えてそれを使わず生で(関係式にそのまま行列をぶちこむ)
やってみたところ次のような連立方程式が出来上がりました。

bc+3=-a^2+4a　―(1)
b(a+d-4)=0　―(2)
c(a+d-4)=0　　―(3)
bc+3=-d^2+4d　―(4)

これは四元二次方程式・・・というのでしょうか??
なんとか解くことが出来ましたが、ものすごく時間がかかり、
またどうしてまたここに代入するのか、など、頭がこんがらかってしまってどうも整理が付きません。この手の連立方程式が未だにとてもニガテです。

文字がたくさん出てきて、しかも積の形などに持ち込まれた場合、何を目的として、何を意図して解いていくのか、(例えば文字消去、など）具体的に明示しながら解き方を教えて下さると嬉しいです、お願いいたします(__)

(ここまでしてみて、やっとケーリー・ハミルトンの定理の威力を知りました)

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

b(a+d-4)=0　―(2)
c(a+d-4)=0　　―(3)
から、a+d-4=0 または　b=c=0
a+d<>4のとき　b＝c＝0
a^2-4a+3=0 d^2-4d+3=0
a=1,3 d=1,3
a+d<>4 だから
a=1,b=0,c=0,d=1 a+d=2 ad-bc=1
a=3,b=0,c=0,d=3 a+d=6 ad-bc=9
の２つが解
a+d=4のとき
(a+d)^2=a^2+d^2+2ad=(4a-bc-3)+(4d-bc-3)+2ad
=2(ad-bc)-6+4(a+d)
2(ad-bc)=(a+d)^2-4(a+d)+6=6
ad-bc=3

と a+d=4 かどうかで場合わけ
（とくに結果を知っていれば当然）

お礼

お礼が大変遅くなってしまって申し訳ありません(__)
しっかりやり方まで示して頂いてとても参考になりました！
やはり、かけて0になっているところに注目するのが、
先に進むコツのようですね。
ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_

因数分解できている (2)、(3)に注目するのが良いでしょう。
当然場合分けです。b = 0 のときと b ≠ 0 のときを考える。後は適当に。

>これは本来ならケーリー・ハミルトンの定理を使って解くのですが、
いいえ。本来は lemon9 さんが散々苦労して計算したように、代入して解くのです。
しかし、Cayley-Hamilton の定理という強力な道具立てが知られているということです。とても良い経験をしましたね。

お礼

お返事が遅くなってしまってすみません。
ご回答ありがとうございました！
参考書のページを大分めくったところに、
HC定理を使うのでもない、成分をおいてやるのでもない、
全く違ったシンプルな答えが載っていて、数学の奥深さを感じました。

補足

早速のご回答ありがとうございます(__)
pq=0となっているモノに注目するという方針があったのを思い出しました。
(i)b=0のとき
(1)に代入してa=1,3
●(ア)a=1のとき
　 (3)よりc(d-1)=0 ∴c=0 or d-1=0
★(い）c=0のとき　(4)よりd=1,3 ∴(a,b,c,d)=(1,0,0,1),(1,0,0,3)
★(ろ）d-1=0のとき (4)より解なし
●(イ)a=3のとき,,,,
こんなかんじでしょうか?

ケーリー・ハミルトンの定理を利用するやり方もなかなか奥が深くて難しく感じました。もっと勉強したいと思います。