数IIIの微分法の問題を教えて下さい。

質問

y＝ｘ＾3÷（ｘ＾－1）の第1次導関数、第2次導関数、極値と変曲点を教えて下さい。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

まず，はじめに，この　y＝x^3/(x^2－1) は，　x≠±１　です．

y＝x^3/(x^2－1) の第１次導関数は，商の微分法を
使って式の両辺を x で微分すると得られます．

y'＝[3x^2(x^2－1)－x^3・2x]/(x^2－1)^2 ＝
＝[3x^4－3x^2－2x^4]/(x^2－1)^2 ＝
＝(x^4－3x^2)/(x^2－1)^2

故に，第１次導関数は，y'＝(x^4－3x^2)/(x^2－1)^2 です．
第２次導関数は，この第１次導関数の両辺を x で微分して得られますから

y''＝[(x^4－3x^2)/(x^2－1)^2 ]'＝
＝[(4x^3－6x)(x^2－1)^2－(x^4－3x^2)・2x・2(x^2－1)]/(x^2－1)^4＝
＝[(4x^3－6x)(x^2－1)－(x^4－3x^2)・2x・2]/(x^2－1)^3＝
＝[(4x^3－6x)(x^2－1)－4x(x^4－3x^2)]/(x^2－1)^3＝
＝[(4x^3－6x)(x^2－1)－4x^5＋12x^3)]/(x^2－1)^3＝
＝[4x^5－4x^3－6x^3＋6x－4x^5＋12x^3)]/(x^2－1)^3＝
＝(6x＋2x^3)/(x^2－1)^3＝2x(3＋x^2)/(x^2－1)^3＝

故に，第２次導関数は，y''＝2x(x^2＋3)/(x^2－1)^3　です．

変曲点は，第１次導関数から，y'＝(x^4－3x^2)/(x^2－1)^2＝0
と置いて，得られますから，(x^4－3x^2)/(x^2－1)^2＝0　を解くと，

x^4－3x^2＝0
x^2(x^2－3)＝0
x^2＝0
x^2－3＝0

から，

x＝0，　x＝±√3　です．

したがって，変曲点は，x＝0　と　x＝－√3　と　x＝＋√3　
の三つです．この三つの　x　を　y＝x^3/(x^2－1) に入れれば，
極値が求まりますから，

y＝0　　　(　x＝0　のとき　)

y＝－3√3/2　　　(　x＝－√3　のとき　)

y＝3√3/2　　　(　x＝√3　のとき　)

が極値となります．

お礼

質問内容のミスにも関わらず回答して頂きありがとうございました。無事解決しました。

回答No.2

Knotopolog

y＝ｘ＾3÷（ｘ＾－1）は，数式として意味不明です．

y＝ｘ＾3÷（ｘ＾－1）の書き方は，＃１さんも，ご指摘のように
y＝ｘ＾3/(1/ｘ）と解釈できるので，y＝ｘ＾3/(1/ｘ）＝ｘ^４ になってしまいます．

y＝ｘ^3/(ｘ－1) のことではないのですか？？

数式を書く時は，÷ を用いずに，/ で商を表し，分数の分子と分母は，カッコを使って囲み，ハッキリと分けて書かないと，回答者は理解できず，回答できません．

また，分数の書き方は，例えば，ｙ＝Ａ/Ｂ，

Ａ＝ｘ^３　　　　　　（分子）
Ｂ＝ｘ－１　　　　　（分母）

のように書いた方が良く分かります．

補足

すみません、y＝ｘ＾3/（ｘ＾2－1）の間違いです。

回答No.1

yoshi20a

質問に対する質問ですみません。
この数式は、y=x^4ってことですか？