〔-1 1〕の集合について

質問

タイトルの通りです

集合〔-1　1〕と言う集合があります。
コレを乗算にてこの集合が群であるか確かめたいのです。

しかし、逆元が存在するかそうではないかと言うところで躓いています。

単刀直入にお聞きしますが、コレは群をなすのでしょうか？

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

開区間(-1,1)のことであるとします。
これは通常の乗法（掛け算）によっては群をなしませんが、
x*y=(x+y)/(1+xy)によって二項演算を定義すれば、(-1,1)はこの二項
演算「*」によって群をなします。
まず、-1＜(x+y)/(1+xy)＜1であり、
(x*y)*z=x*(y*z)=(x+y+z+xyz)/(1+xy+yz+zx)より結合法則をみたし、
x*0=xより単位元は0、x*(-x)=0より逆元は-xとなります。
またx*y=y*xより可換群にもなっています。

あるいは{-1,1}と-1と1の２元のみからなる集合の意味だとすると、
1が単位元、-1の逆元は-1のような簡単な群となります。

〔-1　1〕のような記号は普通使わないので、意味を明確にしたほうが
よいです。

お礼

こんなに丁寧にありがとうございます。
実は2元のみの群なのです。
逆元については理解しがたいところがあるので勉強したいと思います。

回答No.2

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-1と1しかない集合なら、
-1の逆元は-1、1の逆元は1。
この集合は群になります。

〔-1　1〕が1以上1以下みたいな集合を
意味しているなら、群ではない。
例えば、1/2の逆元は2となるはずだが、
それはこの集合には入っていないから。

お礼

有難うございました。
逆元について勉強して以降と思います。

回答No.1

rinkun

集合〔-1　1〕って何?
区間[-1, 1]なら群にはならない。0の逆元がないから。(それだけでなく-1, 1を除く全ての元が逆元を持たない)
集合{-1, 1}なら群になる。

お礼

すみません。
勉強不足な上に雑なことをしてしまい申し訳ありませんでした。