部分集合に推移律が成り立つのに要素(元)には、どう

質問

部分集合に推移律が成り立つのに要素(元)には、どうして推移律が成り立たないのでしょうか？

元は重複していることも想定されるからなのでしょうか。
(上行は特に気にしないでください)

補足としては、
普通に集合同士だからとか要素と集合との関係だからでは理解できませんでした。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

まあ「部分集合に推移律が成り立つ」と言っているのは、「BはAの部分集合、CはBの部分集合 ⇒ CはAの部分集合」が成り立つ、という意味でしょう、きっと。要素（元）では推移律が（必ずしも）成り立たない、というのは、「y∈xかつz∈yであってもz∈xとは限らない」という意味ですかね。

で、「BはAの部分集合、CはBの部分集合 ⇒ CはAの部分集合」が成り立つのは何でかというと、単に「部分集合の定義とは何ぞや？」に従って、きちんと証明すればよい。で、証明を実際にやってみると、その過程で『「（XならばY）かつ（YならばZ）」ならば「（XならばZ）」が成り立つ』といういわゆる『命題における』三段論法を使っているのに気付くはず。これは、ちゃんと「論理として」証明出来る。

で、「y∈xかつz∈yであってもz∈xとは限らない」については、それは「集合論の公理の中で、∈にそういう規則はないから」という他ない。

因みに、集合Aが、「（y∈Aかつz∈y）ならばz∈A」、つまり「Aの元の元はまたAの元」を満たす時、Aは「推移的集合」であるといい、これは公理的集合論の中で重要な概念になっています。もちろん、全ての集合が推移的集合であるわけではありません。

お礼

推移的集合というものがあるのですね。私も今後、勉強したいと思います。
ありがとうございます。

回答No.1

f272

推移律というものをどのように理解しているのでしょうか？wikiだと「集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。」となっているように，二項関係についての話なのですが，「部分集合に推移律が成り立つ」とか「要素(元)には...成り立たない」とか，どのような理解をしているのかわかりません。

お礼

ありがとうございます。