複素関数の積分

質問

C : z = -√3 + 2√3t ( 0 =< t =< 1)
で与えられる曲線を図示すると、
xy座標で(x,y)=(-√3,0)と（√3,0）とを結んだ直線になります。
そこまではわかりました。
で、その時、次の積分を求めたいのです。

∫C 　(dz/z-i)
（＃積分記号の下にCはついています。上にはなにもありません）

この解答が、2/3パイになっています。
直線なのにパイが入ってくるのが理解できません。

教科書に使われるような基礎の本の演習問題です。
どなたか、複素関数に詳しい方、教えてください。

回答No.1

i536 · ベストアンサー

積分路にZ=-iがないので、
積分する式の分母分子にz+iを掛けたらどうでしょうか（下式）。

1/(z-i)=(z+i)/(z^2+1)=z/(z^2+1) + i(1/(z^2+1))

積分路はx軸上だけなので、z=x,dz=dz,積分範囲x=-√3～√3として計算すると
前項の積分値は0,　後者の積分がarctan(z)なので　
答えは、(2/3)*π*i.

もちろん、計算の面倒を思わなければ、基本に忠実にz=x+iy として、
次の式からパラメータtを使って積分計算しても構わないと思います。

∫C 　(dz/z-i) =∫t=0～１ 　(1/z(t)-i)(dz/dt)dt.

回答No.6

nubou

修正：∫ｄｚ／ｚ＝ｌｏｇ（ｚ）＝ｌｏｇ｜ｚ｜＋ｉ・ａｒｇ（ｚ）です

回答No.5

nubou

Ｎｏ．４に関連して：
∫ｄｚ／ｚ＝ｌｏｇ｜ｚ｜＋ａｒｇ（ｚ）を知らない場合

α＝－√（３）としβ＝√（３）としγ＝ｉとすると
γを中心しγからαにいたる直線を半径（＝２）としてαからβに至る円弧経路（Ｒ）とαからβに至る直線経路（Ｃ）との間の領域をＤとすると
１／（ｚ－ｉ）はＤにおいて正則であるから
∫（Ｃ）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝∫（Ｒ）ｄｚ／（ｚ－ｉ）

ｚ－ｉ＝２・ｅｘｐ（ｉ・θ）とすると
θを－５・π／６から－π／６に変化させるとｚはＲ上を動く
またｄｚ＝２・ｉ・ｅｘｐ（ｉ・θ）・ｄθ＝ｉ・（ｚ－ｉ）・ｄθであるから

∫（Ｃ）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝
∫（Ｒ）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝
∫（θ：－５・π／６→－π／６）ｄθ・ｉ・（ｚ－ｉ）／（ｚ－ｉ）＝
∫（θ：－５・π／６→－π／６）ｄθ・ｉ＝
（（－π／６）－（－π・５／６））・ｉ＝２・π・ｉ／３

間違いの修正：
∫（Ｃ）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝
∫（ｚ：α→β）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝
［ｌｏｇ｜ｚ－ｉ｜］（α，β）＋［ｉ・ａｒｇ（ｚ－ｉ）］（α，β）＝
１／｜β－ｉ｜－１／｜α－ｉ｜＋ｉ・ａｒｇ（β－ｉ）－ｉ・ａｒｇ（α－ｉ）＝
１／２－１／２＋ｉ・（－π／６）－ｉ・（－π・５／６）＝
２・π・ｉ／３

質問の中の答にだまされてしまいました

回答No.4

zabuzaburo

zそのものの軌跡は線分ですが、1 / (z - i)の軌跡は円周(の一部)になります。

回答No.3

nubou

α＝－√（３）としβ＝√（３）とすると

∫（Ｃ）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝
∫（ｚ：α→β）ｄｚ／（ｚ－ｉ）＝
［ｌｏｇ｜ｚ－ｉ｜］（α，β）＋［ａｒｇ（ｚ－ｉ）］（α，β）＝
１／｜β－ｉ｜－１／｜α－ｉ｜＋ａｒｇ（β－ｉ）－ａｒｇ（α－ｉ）＝
１／２－１／２＋（－π／６）－（－π・５／６）＝
２・π／３

注意：ｉとαとβの位置関係を作図せよ

回答No.2

First_Noel

複素積分・・・すっかり忘れてしまいました．
が，記憶辿りますと，複素積分では必ず積分路を閉曲線とし，
積分結果はその中に含まれる極？零点？の和か何かになるのではなかったでしたっけ？
で，その積分路は，実際に求める積分範囲を含む閉曲線で，閉曲線にする為に
複素平面上で半円とかの積分路を追加してやって，求まった答えからその分を引く，と
言うところでπが出て来るように思います．

あやふやですみません．