三角関数の問題です

質問

0≦θ＜πのとき、ｙ＝８√３cos2＋６cosθcosθ+２√３sin2θは
y＝[ア]sin([イ]θ＋π/[ウ])＋[エ]√[オ]となる。という問題がわかりません。
（半角の2は2乗ということです。ウのところはウ分のπということです。）

２倍角、半角の公式を用いてsin２θ、cos２θの一次式に変形させて解くみたいなのですが、よくわかりません。
三角関数は苦手なので、細かい所まで教えていただけると助かります！

火曜日にみんなの前で解かないといけないので、よろしくお願いします！

回答No.4

kokkoro · ベストアンサー

mana99さんの書かれた式ですが、

第一項目「8√3cos2」となっていますが、これは「8√3(cosθ)^2」なのですね？第三項目も二乗の意味ですよね？
それと、第二項目が、「6cosθcosθ」となっていたのですが、これは「6sinθcosθ」の間違いではないですか？

多分そうであろうと踏んだ上で・・・

8√3(cosθ)^2 + 6sinθcosθ + 2√3(sinθ)^2
は、まず答えから言うと、
6sin(2θ+π/3) + 5√3　となります。

以下説明。余計だったらごめんなさい。

１.半角の公式を使って、(sinθ)^2と(cosθ)^2を（←これらは２次式）１次式に直します。

半角の公式は
(1)(cosθ)^2 = {1+cos(2θ)}/2
(2)(sinθ)^2 = {1-cos(2θ)}/2
です。これは
cosの加法定理↓
cos(θ+φ)=cosθcosφ-sinθsinφ
においてφのかわりにもう一度θをいれて
２倍角の公式↓がでますね
cos(θ+θ)=cos(2θ)=(cosθ)^2-(sinθ)^2
=(cosθ)^2-{1-(cosθ)^2}=2(cosθ)^2-1
そして、この最後の式=cos(2θ)でしたので、移項して整理すると半角の公式の(1)がでます。(2)は(cosθ)^2+(sinθ)^2=1の関係から、(1)を使ってすぐに出ます。

と、長くなりましたが、半角の公式(1)(2)をつかって、
8√3(cosθ)^2=4√3(cos(2θ))+4√3
2√3(sinθ)^2=-√3(cos(2θ))+√3
と、一次式の形にできました。

２．二倍角の公式をつかって6sinθcosθを１次式に直します。

sinの二倍角の公式は
sinの加法定理↓
sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ
のφにθを代入して
sin(θ+θ)=sin(2θ)=2sinθcosθ
です。ここから、

6sinθcosθ=3sin(2θ)

とできました。

ここまでを整理すると与えられた式は
3sin(2θ)+3√3cos(2θ)+5√3
となりますね。

３．sinとcosの合成をつかって、sinとcosをsinひとつだけにまとめます。

3sin(2θ)+3√3cos(2θ)
をsin(なんとか)にまとめたときの係数（長さ）は、もとのsinとcosの係数を「二乗して足したものの平方根」になっています。つまり(3)^2+(3√3)^2=36ですから、６です。

xy平面を書いて、x軸上にsinの係数である３を、y軸上にcosの係数である3√3を書いてみてください。そして、座標(3,3√3)を書いてみると、原点との距離がちょうど６になりますよね。

ここまでで
3sin(2θ)+3√3cos(2θ)=6sin(2θ+α)であることがわかります。最後にこのαですが、これは、先ほど書いたxy平面の、(3,3√3)が、x軸となす角度、つまり６０度です。これをπであらわしているので、α=π/3となります。

以上で終わりです。

回答No.3

kiyocchi50

まず、[ア]sin([イ]θ＋π/[ウ])の形から、三角関数の合成が行われるんだなと判断します。ということは、二乗とか、cosθsinθはなんか嫌じゃないですか？
ここで有名なsin＾2θ＋cos＾2θ＝１　と、sin2θ＝2sinθcosθ
の式を使おうかなっと考えてください。
前者の式を使いsinかcosのどっちかにそろえてください。なんで揃えるかというと、cosの倍角公式が使いたいからです。なんで倍角公式が使いたいかというと、合成するときにsin2θとcos2θが欲しいからです。
あとは計算するだけです。合成方法は教科書を読んでください。

数学の問題を解くとき「こうしたいな」という考え方でいてください。式変形にはちゃんと意味があるのですから。
自分の持ってるカードはどれで、いつそのカードを使おうかなって感じで。

回答No.2

proto

問題に写し間違いがないですか？
　ｙ＝8√3{cos(θ)}^2＋6sin(θ)cos(θ)+2√3{sin(θ)}^2
ではないですか？

ヒントを書くと
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = 2{cos(θ)}^2-1 = 1-2{sin(θ)}^2
より
sin(θ)cos(θ),{cos(θ)}^2,{sin(θ)}^2
はそれぞれsin(2θ)とcos(2θ)の式で表せますよね

そうしたら元の式に代入して
元の式をsin(2θ)とcos(2θ)だけの式にしてしまいます

次に三角関数の合成をすれば答えの式になります
　a*sin(θ)+b*cos(θ)=√(a^2+b^2)*sin(θ+α)

回答No.1

kiyocchi50

cosθcosθとはcosθsinθの間違いですか？
それともcosθの二乗ですか？

補足

ごめんなさい！そうです！６sinθcosθです！