逆関数を含む微分

質問

cos(Sin^-1X)の導関数を求める、という問題で

合成関数の微分の公式を用いて
=-sin(Sin^-1X)*1/√1-X^2
となりますよね？

これで答えでいいんでしょうか？
それとも、sin(Sin^-1X)はまだ変形できたりするんでしょうか？

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃１fushigichanです。分かりました。
逆関数ということなので、
sin^(-1)x=tとおくと、つまりsint=x
ということになります。
これをtで両辺微分すると
dx/dt=cost=√(1-sin^2t)=√(1-x^2)
dt/dx=1/cost=1/√(1-x^2)

y=cos(sin^-1x)=costとおくと
dy/dx=(dt/dx)*(dy/dt)
　　=(1/cost)*(-sint)
　　=(1/√(1-x^2))*(-x)←sinの逆関数をとって、またsinをとれば元に戻る。
　　=-x/√(1-x^2)

とできると思います。

お礼

即回答ありがとうございます。
できました。。
ここに書くのは適切ではないかもしれませんが、
＃２でのお礼のところの表現はちょっと変でしたねf(^^;)

回答No.2

noname#24477

逆関数と言ってみえるのだから
Sin^-1x＝arcsinｘ
のことでしょう。

結果は気にして見えるとおり簡単にできますね。
ｆとf^-1の合成はどうなるかを考えれば明らかだろうと思います。

お礼

ああ、なるほど。。。
と言うことは、fとf^-1の合成はXになるんでしたよね？
これで、・・・　-X/√1-x^2　・・・答え〃でＯＫでしょうか？

回答No.1

fushigichan

eniraMさん、こんにちは。

sin^-1xというのは、sin^(-1)x=1/sinxのことですよね？
これをtとおくと
t=1/sinx
dt/dx=-cosx/sin^2x

y=cos(sin^(-1)x)=costなので
dy/dx=(dt/dx)*(dy/dt)
　　　=(-cosx/sin^2x)*(-sint)
　　　=sin(sin^(-1)x))*cosx/sin^2x

となるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
すいません、わかりにくくて。
実はSin^-1Xはアークサインのことです。