逆三角関数

質問

逆三角関数の微分公式を導き方について誰かおしえてくｄさい。
おねがいします。
詳しくお願いします

（1)
((sin＾-1)x)'=1/√(1-x＾2)

(-1<x<1)
(2)
((cos＾-1)X)'=- 1/√(1-x＾2)

(-1<X<1)

(3)
((tan＾-1)x)'=1/(1＋(X＾2))

お願いします

回答No.3

mmky

参考程度に

（1)
(sin＾-1x)'=1/√(1-x＾2)
sin＾-1x=y, x=siny, dx/dy=cosy
dy/dx=1/cosy=1/√(1-sin＾2y)=1/√(1-x＾2)

(-1<x<1)
(2)
(cos＾-1x)'=- 1/√(1-x＾2)
cos＾-1x=y, x=cosy, dx/dy=-siny
dy/dx=-1/siny=-1/√(1-cos＾2y)=-1/√(1-x＾2)

(-1<X<1)
(3)
((tan＾-1)x)'=1/(1＋(X＾2))
tan＾-1x=y, x=tany, dx/dy=-sec＾2y
dy/dx=1/sec＾2y=1/(1+tan＾2y)=1/(1+x＾2)

1+tan＾2y=sec＾2y
1+sin＾2y/cos＾2y=(cos＾2y+sin＾2y)/cos＾2y
=1/cos＾2y=sec＾2y

回答No.2

fushigichan

＃１fushigichanです。
タイプミスがありました。

(2)couy=xと書いていますが、cosy=xです。

(3)(tan-1)x=yとおくと、tany=x
これをｙについて微分すると、
dx/dy=1/cos^y=1+tan^y=1+x^2

ここの部分、
(tan^-1)x=yとおくと、tany=x
これをyについて微分すると、
dx/dy=1/cos^2y=1+tan^2y=1+x^2

の間違いでした。訂正させていただきます。

回答No.1

fushigichan

aki462さん、こんばんは。

＞（1)
((sin＾-1)x)'=1/√(1-x＾2)
(-1<x<1)

(sin^-1)x=yとおくと、サインの逆関数なので、siny=x
という意味になります。
ここで、siny=xを、ｙについて微分します。
dx/dy=cosy=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)
ここで、-1<x<1から、cosy≠0
求めるものは、
((sin-1)x)'=dy/dx=1/√(1-x^2)
ということになります。

＞(2)
((cos＾-1)X)'=- 1/√(1-x＾2)
(-1<X<1)

(1)と全く同じように考えていけばいいですよ。
(cos^-1)x=yとおくと、cosの逆関数ですから、couy=x
という関係が成り立ちます。
これをyで微分すると、
dx/dy=-siny=-√(1-x^2)
-1<x<1より、siny≠0
dy/dx=(-1)/√(1-x^2)

＞(3)
((tan＾-1)x)'=1/(1＋(X＾2))

(tan-1)x=yとおくと、tany=x
これをｙについて微分すると、
dx/dy=1/cos^y=1+tan^y=1+x^2
ゆえに、
dy/dx=1/(1+x^2)

となります。頑張ってください！！