逆三角関数の導関数の問題が分かりません。

質問

次の逆三角関数の導関数を求めよ。 という問題ですが
(1)arctan((1-x)/(1+x))^1/2
(2)arcsin(e^x/(e^x+e^-x))

自分で計算すると、
(1)1/1+((1-x)/(1+x))*1/2(-2/(1+x)^2)^-1/2
=(1+x)/(1+x)+(1-x)*-(1+x)/2*2^-1/2
=-(1+x)^2/4*2^-1/2

(2)1/(1-(e^x/(e^x+e^-x))^2)^1/2*2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2)
=2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2-e^2x)^1/2

正解答はそれぞれ、
(1)-1/2(1-x^2)^1/2
(2)2/(e^x+e^-x)(2+e^-2x)^1/2
となるようなのですが。
どなたか解き方を教えて下さい。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>(1)arctan((1-x)/(1+x))^1/2
arctan(((1-x)/(1+x))^1/2) と()を使って正確に書くこと。
以下も同様に()を使って、式の塊の範囲を正確に書くこと。

>(1)1/1+((1-x)/(1+x))*1/2(-2/(1+x)^2)^-1/2
ここで間違いがある。((1-x)/(1+x))^(1/2) の微分のところが間違い。
したがって最初の式から間違いですね。

正しくは次式のように微分しないと駄目。
1/(1+((1-x)/(1+x))) * (1/2)((1-x)/(1+x))^(-1/2) * (-2/(1+x)^2)
これを計算していけば正解答にたどりつけます。
後は式を整理するだけですからやってみてください。

>(2)1/(1-(e^x/(e^x+e^-x))^2)^1/2*2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2)
式自体は合っていますが
(1/(1-(e^x/(e^x+e^(-x)))^2)^(1/2)) * 2(e^x)(e^(-x))/((e^x+e^(-x))^2)
と括弧()をつけて式を正確に書くこと。

>=2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2-e^2x)^1/2
括弧( )を付けないことで計算ミスをしましたね。
=(1/(1-(e^(2x)/(e^x+e^(-x))^2))^(1/2)) * 2/((e^x+e^(-x))^2)
=(1/((e^x+e^(-x))^2-e^(2x))^(1/2)) * 2/(e^x+e^(-x))
=(1/(2+e^(-2x))^(1/2)) * 2/(e^x+e^(-x))
これを整理すれば正解答になりますね。

お礼

おかげで理解できました。本当に有難うございました。

回答No.4

owata-www

＃２ですがちゃんと計算したら(2)も合ってました

まあ、解説は＃３さんの通りです

回答No.2

owata-www

正直質問者の方がどうやって解いたかわからないんですが

(arctanx)'＝1/(1+x^2)
(arcsinx)'＝1/√(1-x^2)

と合成関数の微分を使えばいいかと

しかし(2)がなぜか合いません(汗

お礼

参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

> 自分で計算すると、
> (1)1/1+((1-x)/(1+x))*1/2(-2/(1+x)^2)^-1/2
> =(1+x)/(1+x)+(1-x)*-(1+x)/2*2^-1/2
> =-(1+x)^2/4*2^-1/2
>
> (2)1/(1-(e^x/(e^x+e^-x))^2)^1/2*2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2)
> =2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2-e^2x)^1/2
>
> 正解答はそれぞれ、
> (1)-1/2(1-x^2)^1/2
> (2)2/(e^x+e^-x)(2+e^-2x)^1/2

1つの式は、1つの方法でしか表せないわけではありません。
f(x) = x^2は、f(x) = x^2 + 4 - 4とも書けますし、
f(x) = -(-x^2)とも書けます。

質問者さんの出した答えと正解答は本当に違う式ですか？
質問者さんの出した答えを変形すれば、正解答になりませんか？
そのことをもう一度よく考えてみてください。

少なくとも(2)は同じ式のように見えます。
質問者さんが出した答えの分子にある(e^x){e^(-x)}は1になりますし（逆数同士の積なので1になる）、
分母にある[ { e^x + e^(-x) }^2 ] - e^(2x)も{ e^x + e^(-x) }^2を展開すれば、
正解答の分母にある2 + e^(-2x)が作れます。

(1)に関しては、質問者さんの出した答えが何なのか分からないので
正解答と同じ式なのかどうかわかりません
(同様に正解答もどこまでが分子でどこまでが分母なのかが分かりません)。

(1)のように複雑な式を微分するなら、
横着せずに1つ1つ丁寧に計算するべきです。

y = arctan{ (1-x) / (1+x) }^(1/2)
u = { (1 - x) / (1 + x) }^(1/2)とおくと
y = arctan(u)
合成関数の微分より、
(dy) / (dx) = { (dy) / (du) }{ (du) / (dx) }なので
(dy) / (du)と(du) / (dx)を計算すれば(dy) / (dx)が求められる。

(dy) / (du)
= 1 / (1 + u^2) …… [1]

(du) / (dx)に関しては、u = ( (1 - x) / (1 + x) )^(1/2)と複雑な形なので、
v = (1 - x)/(1 + x)と置いて再び合成関数の微分を適用する。
つまり(du) / (dx) = { (du) / (dv) }{ (dv) / (dx) }を利用する。

(du) / (dv)
= (1/2)v^(-1/2) …… [2]

(dv)/(dx)は、vを以下のように変形してから計算すると楽です。
v
= (1 - x)/(1 + x)
= { 2 / (1 + x) } - 1

(dv) / (dx) = -2 / { (1 + x)^2 } …… [3]

[2]と[3]より
(du) / (dx)
= { (du) / (dv) }{ (dv) / (dx) }
= { (1/2)v^(-1/2) }[ -2 / { (1 + x)^2 } ] …… [4]

[1]と[4]より
(dy) / (dx)
= { (dy) / (du) }{ (du) / (dx) }
= { 1 / (1 + u^2) }{ (1/2)v^(-1/2) }[ -2 / { (1 + x)^2 } ]

あとはuとvに元の式を代入して整理するだけです。

お礼

疑問が解けました。ありがとうございました。